2.1._-_

План.
1 Приращение аргумента. Приращение функции.
2. Определения производной.
3. Вычисление производных.
4. Правила дифференцирования.
5. Дифференцирование функции
6. Геометрический и механический смысл производной
7. Признаки возрастания и убывания
8. Экстремум функции.

Опр. 1. Пусть ф-я определена в точках х0
и х1. Разность х1-х0 называют приращением
аргумента (при переходе от точки х0 к х1), а
разность называют
приращением функции.
Приращение аргумента обозначают (читают: дельта икс).
Приращение функции обозначают или .
Итак, , значит,
, значит

Пример 1.
Найти приращение функции у=х2 при переходе от точки х0=1 к точке:
Обратите внимание на полученный в примере ответ: приращение функции может быть и положительным и отрицательным числом, так что не истолковывайте термин «приращение» как «прирост».
Опр*. Функция непрерывна в точке х=а, если в точке х=а выполняется следующее условие: если , то

Пример 2.
Для функции у=х2 найти:

2. Определения производной.
Опр. 2. Пусть функция определена в точке
х и в некоторой точке ее окрестности. Дадим
аргументу х приращение , такое, чтобы не
выйти из указанной окрестности. Найдем
соответствующее приращение функции и
составим отношение . Если существует
предел этого отношения при , то указанный
предел называют производной функции
в точке х и обозначают .
Итак,
иногда производную обозначают

Если функция имеет производную
в точке х, то ее называют
дифференцируемой в точке х. Процедуру
отыскания производной функции
называют дифференцированием функции .
Формулами дифференцирования
обычно называют формулы для отыскания
производных конкретных функции.

3. Вычисление производных. Таблица производных

Правила дифференцирования.
Правило 1. Если функция и имеют
производную в точке х, то и их сумма имеет производную в
точке х, причем производная суммы равна сумме
производных.
(производная суммы равна сумме производных)
Например,
Правило 2. Если функция имеет производную в
точке х, то функция имеет производную в точке х,
причем.
(постоянный множитель можно вынести за знак производной)
Например,

Правило 3. Если функция и имеют производную
в точке х, то и их произведение имеет производную в
точке х, причем
(производная произведения двух ф-ий равна сумме двух слагаемых; первое
слагаемое есть произведение производной первой ф-ии на вторую ф-ию, а
второе слагаемое есть произведение первой ф-ии на производную второй ф-ии)
Например,
Правило 4. Если функция и имеют производную в
точке х и в этой точке , то и частное имеет производную
в точке х, причем
Например,