Тригонометрические уравнения

Определение.
Уравнения вида f(x) = а, где а – данное число, а f(x) – одна из тригонометрических функций, называются простейшими тригонометрическими уравнениями.

Решение простейших тригонометрических уравнений.

14.12.2020
2) уметь определять значения синуса, косинуса,
тангенса и котангенса для точек числовой
окружности;
4) знать понятие арксинуса, арккосинуса,
арктангенса, арккотангенса и уметь отмечать их
на числовой окружности.
1) уметь отмечать точки на числовой
окружности;
3) знать свойства основных
тригонометрических функций;
Чтобы успешно решать простейшие
тригонометрические уравнения нужно

1. Найти координаты точки М, лежащей на единичной окружности и соответствующей числу

2. Дана точка М с абсциссой ½. Найдите ординату этой точки; укажите три угла поворота, в результате которых начальная точка (1;0) переходит в точку М
М

3. Дана точка М с абсциссой -½. Найдите ординату этой точки; укажите три угла поворота, в результате которых начальная точка (1;0) переходит в точку М
М

Решите уравнение

Решите уравнение

π
0
arccos а
Арккосинусом числа а называют такое число из промежутка
[0;π ], косинус которого равен а
а
arccos (-a)= π -arccos a
-а
π-arccos a
Арккосинус и решение уравнений соs х=a.

Решим при помощи
числовой окружности
уравнение cos х = a.
1)
Нет точек пересечения с окружностью.
Уравнение не имеет решений.
Решение уравнений соs х =a.

Решим при помощи
числовой окружности
уравнение cos х = a.
2)
cos х = 1
х = 2πk
cos х = -1
х = π+2πk
Частные решения
Решение уравнений соs х =a.

Решим при помощи
числовой окружности
уравнение cos х = a.
3) а = 0
Частное решение
Решение уравнений соs х =a.

Решим при помощи
числовой окружности
уравнение cos х = a.
4)
Общее решение
arccos а
-arccos а
Корни, симметричные относительно Оx могут быть записаны:
х = ± arccos a+2πk
или
а
Решение уравнений соs х =a.

Уравнение cos х = a называется простейшим тригонометрическим уравнением
0
x
y
2. Отметить точку а на оси абсцисс (линии косинусов)
3. Провести перпендикуляр из этой точки к окружности
4. Отметить точки пересечения перпендикуляра с окружностью.
5. Полученные числа– решения уравнения cosх = a.
6. Записать общее решение уравнения.
1. Проверить условие | a | ≤ 1
a
х1
-х1
-1
1
Решается с помощью единичной окружности

Уравнение cos t = a
a) при -1< t < 1 имеет две серии корней
t1 = arсcos a + 2πk, k ϵ Z
t 2 = - arсcos a + 2πm, m ϵ Z.
Эти серии можно записать так
t = ± arсcos a + 2πn, n ϵ Z ;
б) при а = 1 имеет одну серию решений
t = 2πn, n ϵ Z ;
в) при а = -1 имеет одну серию решений
t = π + 2πn, n ϵ Z ;
г) при а = 0 имеет две серии корней
t1 = + 2πk, k ϵ Z
t 2 = - + 2πm, m ϵ Z. Обе серии можно записать в одну серию
t = + πn, n ϵ Z.
д) при а > 1 и a < -1 уравнение не имеет корней.

Решите уравнение
1) cos х =
2) cos х = -

Решите уравнение
3) cos 4x = 1
4x = 2πn, n ϵ Z
4)

Решите уравнение
5)
.

Уравнение sin t = a
a) при -1< t < 1 имеет две серии корней
t1 = arсsin a + 2πn, n ϵ Z
t 2 = π - arсsin a + 2πn, n ϵ Z.
Эти серии можно записать так
t = ( -1)k arсsin a + πk, k ϵ Z ;
б) при а = 1 имеет одну серию решений
t = + 2πn, n ϵ Z
в) при а = -1 имеет одну серию решений
t = - + 2πn, n ϵ Z;
г) при а = 0 имеет две серии корней
t1 = 2πk, k ϵ Z,
t2 = π + 2πm, m ϵ Z.
Обе серии можно записать в одну серию
t = πn, n ϵ Z ;
д) при а > 1 и a < -1 уравнение не имеет корней.

Решите уравнение
sin х =
,
,
x = ( -1)k
+ πk, k ϵ Z .

Решите уравнение
2) sin х = -
x = ( -1)k+1
;
,
,
;
x = ( -1)k ( -
( -
+ πk, k ϵ Z
+ πk, k ϵ Z

Задание 2. Найти корни уравнения:
1) a) sin x =1 б) sin x = - 1 в) sin x = 0
г) sin x =1,2 д) sin x = 0,7
2) а) б)
в) г)

Уравнение tg t = a
при любом а ϵ R имеет одну серию решений
х = аrctg a + πn, nϵ Z.

Решите уравнение
1) tg x =
х = аrctg + πn, nϵ Z.
x = + πn, nϵ Z.
2) tg x = -
х = аrctg(- ) + πn, nϵ Z,
x = - + πn, nϵ Z.

Уравнение ctg t = a
при любом а ϵ R имеет одну серию решений
х = аrcctg a + πn, nϵ Z.

Решите уравнение
1) ctg x = 1
х = аrcctg 1 + πn, nϵ Z,
х = + πn, nϵ Z.
2) ctg x = - 1
х = аrcctg ( -1) + πn, nϵ Z
х = π - аrcctg 1 + πn, nϵ Z
х = + πn, nϵ Z.