Вычисление вероятностей сложных событий

Дидактическая цель
Применение полученных знаний, умений и навыков в
процессе выполнении самостоятельной
вычислительной работы.
Знать:
– понятия произведения событий и суммы событий;
– формулу вероятности произведения независимых
событий
– формулу вероятности суммы несовместных событий
Уметь:
– представлять сложные события через элементарные
события с помощью операций над событиями;
– вычислять вероятности сложных событий

Действия над событиями
Сумма:
А + В выполняется тогда, когда происходит хотя бы одно из этих событий (или А, или B, или оба вместе)
Произведение:
А ∙ В выполняется тогда, когда происходят оба события (и А, и В).

Теоремы сложения вероятностей
Вероятность суммы событий А + В определяется следующей формулой:
Р(А + В) = Р(А) + Р(В) - Р(А ∙ В)
Если события несовместны, то формула упрощается и принимает вид:
Р(А + В) = Р(А) + Р(В)

Теорема умножения вероятностей
Если события независимы, то вероятность произведения событий А ∙ В определяется следующей формулой:
Р(А ∙ В) = Р(А) ∙ Р(В)

Вопросы к теме
1. Чему равна вероятность суммы двух несовместных событий?
Сумме вероятностей этих событий.
2. Чему равна сумма вероятностей противоположных событий?
Равна единице.
3. Сформулируйте теорему о вероятности суммы совместных событий.
4. При каком условии вероятность суммы двух случайных событий равна сумме вероятностей этих событий?
Если события несовместны.

Вопросы к теме
5. Чему равна вероятность произведения двух независимых событий?
Равна произведению вероятностей этих событий.
6. Сформулируйте теорему о вероятности произведения независимых событий.
7. При каком условии вероятность произведения двух случайных событий равна произведению вероятностей этих событий?
Если события независимые.

Задача № 1
В урне 5 черных и 6 белых шаров. Случайным образом вынимают 4 шара. Найти вероятность того, что среди них имеется:
а) 2 белых шара; б) меньше чем 2 белых шара;
в) хотя бы один белый шар.
Дано: …………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
Найти:

Задача № 1
В урне 5 черных и 6 белых шаров. Случайным образом вынимают 4 шара. Найти вероятность того, что среди них имеется:
а) 2 белых шара; б) меньше чем 2 белых шара;
в) хотя бы один белый шар.
Дано:
Всего 11 шаров, из них 5 черных и 6 белых.
Испытание: случайным образом берут 4 шара.
Событие А: из 4-х выбранных шаров окажется 2 белых шара.
Событие В: из 4-х выбранных шаров окажется меньше чем 2 белых шара.
Событие С: из 4-х выбранных шаров окажется хотя бы один белый шар.
Найти: P(A), P(B), P(C)

Решение:
Решим задачу по формуле классического
определения вероятности:
Найдем число равновозможных исходов.
Рассмотрим испытание:
всего 11 шаров, выбирают из них 4 шара,
порядок не важен.
По формуле сочетаний из 11 по 4 найдем n.
Тогда

Решение:
а) Рассмотрим событие A - из 4-х выбранных шаров окажется 2 белых шара.
Значит, среди вынутых шаров 2 белых и 2
черных, то есть A = {2 бел. и 2 чер.}
И белые и черные шары берут
одновременно, поэтому число способов
выбора белых и черных шаров перемножаем.

событие A - из 4-х выбранных шаров окажется 2 белых шара
Пусть m1 – число способов выбрать 2 белых шара,
Белых шаров 6, берут из них 2, значит
Обозначим m2 - число способов выбрать 2
черных шара.
Черных шаров 5, берут из них 2, значит
тогда
Вероятность события А равна:

Решение:
б) Событие В - из 4-х выбранных шаров окажется меньше чем 2 белых шара
Это событие состоит из двух несовместных событий:
B1 - среди вынутых шаров только один белый и 3 черных.
B2 - среди вынутых шаров нет ни одного белого, все 4 шара черные.
Так как события B1 и B2 несовместны, можно
использовать формулу:

B1 - среди вынутых шаров только один белый и 3 черных
Вероятности событий B1 и B2 найдем по формуле
классического определения вероятности.
B1 - среди вынутых шаров только один белый и 3
черных.
Берут шары разного цвета, поэтому найдем:
m1 – число способов выбрать 1 белый шар, и
m2 – число способов выбрать 3 черных шара.
Тогда m = m1 ∙ m2

B1 - среди вынутых шаров только один белый и 3 черных
m1 – число способов выбрать 1 белый шар
Белых шаров 6, берут из них 1, значит:
m2 - число способов выбрать 3 черных шара.
Черных шаров 5, берут из них 3, значит:
Значит

B2 - среди вынутых шаров нет ни одного белого, все 4 шара черные
Найдем вероятность события B1:
B2 - среди вынутых шаров нет ни одного белого, все 4 шара черные.
Черных шаров 5, берут из них 4, значит
Найдем вероятность события B2:
Вероятность события B:

в) C – среди вынутых шаров хотя бы один белый.
Здесь событие C определяется словами "хотя бы один" и прямое решение приводит обычно к сложным вычислениям.
Этому событию удовлетворяют следующие сочетания шаров: 1 белый и 3 черных (C1),
2 белых и 2 черных (C2), 3 белых и 1 черный (C3),
4 белых (C4).
Имеем: C = C1 + C2 + C3 + C4.
Для вычисления вероятности события C необходимо найти вероятности четырёх событий C1, C2, C3, C4.

C – среди вынутых шаров хотя бы один белый
Проще сначала найти вероятность
противоположного события и затем вычислить
вероятность искомого события.
Противоположным событию C является событие
- среди вынутых шаров нет ни одного белого,
= {4 черных} = В2
Ответ: P(A)=150/330, P(B)=65/330, P(C)=325/330.

Задача № 2
Устройство состоит из трех независимых элементов, работающих в течение времени Т безотказно соответственно с вероятностями 0,851, 0,751 и 0,701. Найти вероятность того, что за время Т выйдет из строя: а) только один элемент; б) хотя бы один элемент.
Дано: …………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
Найти: ………………………………………………………

Задача № 2
Дано:
р1 = 0.851 - вероятность работы 1 элемента p2 = 0.751 - вероятность работы 2 элемента
p3 = 0.701 - вероятность работы 3 элемента
Испытание: работа устройства состоящего из 3-х элементов.
Событие А: за время Т выйдет из строя только один элемент.
Событие В: за время Т выйдет из строя хотя бы один элемент.
Найти: P(A), P(B).

Решение:
Дано сложное испытание – работа устройства, состоявшего из 3-х элементов.
Введем элементарные события:
Bi – i-ый элемент не выходит из строя; – i-ый элемент выходит из строя.
а) Событие A – за время Т выходит из строя только один элемент. Событие A происходит тогда, когда выходит из строя либо только 1-й, либо только 2-й, либо только 3-й элемент.
А = {НРР, РНР, РРН}

Bi – i-ый элемент не выходит из строя
Выразим А, через элементарные события:
Определим вероятности элементарных событий.
Вероятности элементарных событий Вi вычислять не надо, так как эти вероятности заданы по условию.
P(B1) = p1= 0.851, P(B2) = p2= 0.751, P(B3)= p3= 0.701

P(B1) = 0.851, P(B2) = 0.751,
P(B3) =0.701
Вi и - противоположные события.
Сумма вероятностей этих событий равна 1.

Решение:
Учитывая независимость элементов устройства, несовместимость событий применим теоремы сложения и умножения вероятностей:
Вычислим вероятность события A.

б) B – за время Т выходит из строя хотя бы один элемент.
Событие определяется словами "хотя бы один",
значит, используем противоположное событие
- за время Т все элементы работают
безотказно.
Найдем вероятность события
Вероятность события В:
Ответ: P(A) = 0.418, P(B) = 0.552

Выполнение индивидуального задания в 34 вариантах
Практическая работа № 2 по теме
«Вычисление вероятностей сложных событий»
Обязательная часть
Задача № 1
Задача № 2
Вопросы к теме
Дополнительное задание
Задача № 3

Индивидуальное задание № 2
Вычисление параметров
Значения параметров вычислить по следующим формулам:
, где V – номер варианта
p1 = 1 - k , p2 = 0.9 - k , p3 = 0.85 - k
Вычисление параметров
V = ….., ……………
p1 = 1 - …… = ….......
p2 = 0.9 - …... = ……..
p3 = 0.85 - .….. = ….…

Индивидуальное задание № 2
Вычисление параметров
Например:
V = 6 – номер варианта, тогда
p1 = 1 - k = 1 – 0,089 = 0,911,
p2 = 0.9 - k = 0,9 – 0,089 = 0,811,
p3 = 0.85 – k = 0,85 – 0,089 = 0,761
Или V = 30,
p1 = 1 – 0,151 = 0,849
p2 = 0.9 – 0,151 = 0,749
p3 = 0.85 – 0,151 = 0,699

Вопросы к теме
1. Чему равна вероятность суммы двух несовместных событий?
2. Чему равна сумма вероятностей противоположных событий?
3. Сформулируйте теорему о вероятности суммы совместных событий.
4. При каком условии вероятность суммы двух случайных событий равна сумме вероятностей этих событий?
5. Чему равна вероятность произведения двух независимых событий?
6. Сформулируйте теорему о вероятности произведения независимых событий.
7. При каком условии вероятность произведения двух случайных событий равна произведению вероятностей этих событий?

Домашнее задание
Задача
В первой урне K белых и L черных шаров, а во второй урне M белых и N черных шаров. Из первой урны вынимают случайным образом P шаров, а из второй - Q шаров. Найти вероятность того, что среди вынутых шаров:
а) все шары одного цвета;
б) только три белых шара;
в) хотя бы один белый шар.
параметры по вариантам на доске
Конспект § 3.2 до задачи 3.8 стр. 45