Обучение для выполнения НИР 5 курса. Занятие №3

План занятия:
Численное решение задачи Коши,
-Пример №1.
-Пример №2.
-Пример №3

Что такое задача Коши и зачем она нужна?

ПРИМЕР №1:
Феофан бросил утюг вертикально вверх. Используя MatLab, определите каких максимальных высот достигнет утюг, если богатырская сила и телесложение Феофана позволили дать утюгу начальную скорость 20м/с на высоте 2метра. Постройте графики изменения скорости и высоты от времени, а также скорости от высоты.
В событиях, связанных с Феофаном, сопротивлением воздуха можно пренебречь.

Решение:
V=V0-gt.
Обозначим:
высоту грузика= y(1)
Скорость грузика (производная от высоты грузика)= y(2)
Тогда исходное уравнение изменения скорости:
y(2)=-gt,
с начальными условиями при t=0:
y(1)=2м; y(2)=20м/с.

Всё решение в две строчки
Осталось лишь найти максимум от высоты, то есть max(Y(:,1))

В последний момент Феофан ловко увернулся от падающего утюга, порвав подштанники. Данный прецедент не расстроил Феофана и, добыв из подштанников резинку, он продолжил свои научные изыскания.
Подняв за резинку привязанный к ней утюг (его масса 4 кг), Феофан заметил, что резинка растянулась на 0.1метра. Необходимо помочь Феофану предсказать поведение построенной им механической системы:
Составим уравнение колебаний утюга на резинке;
Определим изменение во времени перемещения и скорости утюга, если к нему приложить действующий вертикально пинок, способный придать утюгу начальную скорость 20м/с.
Построим графики изменения во времени перемещения и скорости утюга из предположения, что талантливый Феофан способен лбом прикладывать к утюгу гармоническую силу 10Н с частотой 3Гц, а затухание колебаний соответствует вязкому трению с коэффициентом с= = 0.5 Н*с/м.

Решение:
В общем виде уравнение выглядит следующим образом:
mx’’+Cx’+Kx = F
(Даже Феофан может расшифровать что есть что).
Пусть
X(1)=x, X(2)=X(1)’.
Тогда
X(2)’= (F-СX(2)-KX(1))/m
2) Исходя из условия задачи подставим:
X(2) = 20 м/с; X(1) = 0 м - начальные условия (t=0).

Решение для случая задания начальной скорости от мгновенного «пинка»

Решение для случая применения «лба» в качестве механического силовозбудителя:
В результате получим аккуратную зависимость перемещения от времени с переходным процессом перед выходом на стационарный режим

Накопленный Феофаном научный опыт дал свои плоды, и вскоре юный естествоиспытатель добрался до старших курсов МГТУ. Там ему пришлось делать задание на НИР, дабы злобный преподаватель в приступах пристрастной неадекватности не поставил заслуженную двойку. Давайте посмотрим на задание Феофана и решение этого мастера:
Задание:
Система состоит из тела массой M закреплено на невесомой пружине «1» жесткостью k и длиной L, а также незакрепленной к телу пружины «2» жесткостью k и длиной 3L/4 (см. рисунок). Тело отклонили от положения равновесия на L/2 (пружина «1» работала на растяжение) и отпустили. Сделайте программу-алгоритм для определения на сколько процентов пружина «2» уменьшила амплитуду колебаний при сжатии пружин.
В решении принять L=1; k=1; m=1.
Допустимая погрешность не более 10^-4 м.

Алгоритм решения:
Решим задачу без учета пружины «2».
С момента когда сжатие пружины «1» стало больше L/4 поменяем жесткость с k на 2k. И повторим расчет, используя новые начальные условия по перемещению и скорости.
Сравним результаты.

Решение без учета пружины «2»

Определим момент, с которого жесткость должна увеличиться:
Из массива перемещений вычитаем значение при котором заработает вторая пружина, т.е.вычитаем –L/4 и ищем ближайшее к нулю значение
Мы не смогли обеспечить нужную точность в 10e-4.
Уменьшаем на порядок шаг по времени и повторим расчет:
Совсем другое дело! Теперь Феофан доволен!

ПОВТОРЯЕМ РАСЧЕТ
СТРОИМ ГРАФИК

Соединяем массивы со значениями без пружины «2» Y и с пружиной «2» Y2, начиная с момента I. Полученный массив назовем Yrez т.е.

Ну и наконец узнаем на сколько процентов уменьшится амплитуда при сжатии.
Доделав свою работу суровый Феофан наконец то улыбнулся. Теперь Ваш черед .
СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ! ПРИСТУПАЙТЕ К ВЫПОЛНЕНИЮСВОЕГО ЗАДАНИЯ.