Определение определённого интеграла (Лекция 2)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЁННОГО ИНТЕГРАЛА

Обозначения и терминология

Геометрическая иллюстрация

Определение интегральной суммы

Определение определенного интеграла

Обозначение определенного интеграла

Замечания к определению определенного интеграла

Кусочно-непрерывные функции

Теорема о существовании определенного интеграла

Криволинейная трапеция

Геометрический смысл определенного интеграла

СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

Геометрическая иллюстрация
свойства 3

Геометрическая интерпретация свойства 4

Следствия из свойства 4

Теорема об оценке определенного интеграла

Геометрическая интерпретация теоремы

Теорема о среднем

Геометрическая интерпретация теоремы о среднем

ФОРМУЛА НЬЮТОНА-ЛЕЙБНИЦА

Интегралы с верхним переменным пределом

Теорема о производной интеграла с верхним переменным пределом (теорема Берроу)

Доказательство

Замечание

Формула Ньютона - Лейбница

Доказательство

Значение формулы Ньютона - Лейбница
Формула Ньютона – Лейбница – это одна из немногих формул, объединяющих различные разделы математики воедино. Если бы не было
формулы Ньютона – Лейбница, то неопределенные интегралы не нашли бы приложения, а определенные интегралы нельзя было бы вычислить аналитически. Именно эта формула делает интегральное исчисление важнейшим инструментом для математического моделирования процессов.

Ньютон и Лейбниц – гении науки
Исаак Ньютон (4.01.1643-31.03.1727)
Готфрид Вильгельм Лейбниц
(1.07.1646-14.11.1716)

МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

Интегрирование по частям
Для вычисления определенного интеграла используются формулы интегрирования по частям и замены переменной. Эти формулы похожи на соответствующие формулы для неопределенного интегрирования, но имеют свою специфику.
Формула для интегрирования по частям:

Интегрирование подстановкой
Замена переменной:
где - монотонная, непрерывно дифференцируемая функция новой переменной t на отрезке , , .

Примеры
1)
2)
3)

Примеры
4)

НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Определение несобственных интегралов
Несобственными называют интегралы с бесконечными пределами интегрирования и/или интегралы от неограниченных функций.
Обозначение: , ,
Для вычисления несобственных интегралов формула Ньютона–Лейбница не применима.

Вычисление несобственных интегралов 1-го рода (с бесконечными пределами интегрирования)
Если эти пределы существуют и конечны, то соответствующий несобственный интеграл называется сходящимся, если же - не существует или бесконечен, то несобственный интеграл называется расходящимся.

Геометрический смысл несобственного интеграла 1-го рода

Пример 1

Пример 2

Неограниченная трапеция

Важный пример

Вычисление несобственных интегралов 2-го рода (от неограниченных функций)
Пусть функция имеет бесконечный односторонний предел в какой-либо точке , то по определению принимаем, что несобственный интеграл 2-го рода от на отрезке равен

Геометрическая интерпретация несобственного интеграла 2-го рода

Частные случаи
Если , то
Если , то
Несобственный интеграл , где
или для некоторого , называется сходящимся, если существуют оба предела в определении интеграла, и расходящимся, если не существует хотя бы один из них.

Геометрическая интерпретация

Пример вычисления несобственного интеграла 2-го рода

Ошибочное вычисление

Пример расходящегося несобственного интеграла
Геометрически это означает, что площадь криволинейной трапеции, изображенной на рисунке, не ограничена.

Важный пример несобственного интеграла 2-го рода