Изучение основ Анализа формальных понятий

Объекты теории формальных понятий имеют естественную структуру, что позволяет рассматривать применение данной науки в нематематических областях.
Результаты исследования в нематематической области, в первую очередь, будут интересны людям из данной сферы, т.е. не математикам.
Можно ли сформировать список основных терминов АФП, которого будет достаточно для понимания результатов исследований?
Насколько тяжело не математикам постичь основы АФП?
Цель данной статьи – начать дискуссию по формированию основ АФП и методик их преподавания.
Предпосылки исследования

Метод исследования
Был поставлен эксперимент по обучению 70 студентов 1 курса. Взаимодействие с преподавателем было построено по принципу just-in-time. В программу обучения вошли такие темы как логика, теория множеств и теория графов. Под конец курса студенты познакомились с частично упорядоченными множествами и решетками.
Задачей эксперимента было выяснить, насколько хорошо усваиваются основные материалы АФП и какие проблемы возникают при обучении.
Just-in-time

Определения (1/2)
Множество называется открытым, если имеется точный способ определить, принадлежит ли объект данному множеству, но при этом само множество является слишком большим для перечисления всех его объектов, и оно не строится с помощью алгоритма.
Термин понятие (концепт) применяется в отношении к двум множествам (четким, грубым, нечетким или открытым) и может как описывать данные множества, так и задавать их область применения.
Экземпляр формального понятия – конечное расширение, все характеристики задаются областью применения
Математическое понятие – необходимые и достаточные характеристики определяются описанием понятия (что однозначно определяет принадлежность объекта к расширению)
Формальное понятие – это экземпляр формального понятия и/или математическое понятие
Ассоциативное понятие – понятие, не являющиеся формальным

Определения (2/2)
Знак – это единица общения, соответствующая тройке (i, r, d), где i – интерпретация, r – представление, d – обозначение, при условии, что i и r однозначно определяют d.
i-анонимный знак – это знак, в тройке (i, r, d) которого r = d. Если i четко определено, то такой знак называют анонимным знаком (опуская i).

Диаграммы и формулы
Одинаково ли воспринимается информация, содержащаяся в диаграмме и формуле?
Нет. Но нельзя однозначно определить, где информация представлена более доступно.
Диаграммы воспринимаются более интуитивно, однако это только иллюстрация (например, размер окружностей не соотносится с мощностью множеств). Формула же представляет более точное представление, но для ее чтения требуется знание обозначений (например, порядок элементов в множествах не имеет значения).

Проблемы визуализации
В рамках эксперимента студентам демонстрировали различные иллюстрации графов и решеток. Одно из ключевых недопониманий, зафиксированное у учащихся – студенты всегда пытались соотнести иллюстрацию с координатными осями.
Иными словами, ученики не могли абстрагироваться от уже известных видов линейных диаграмм. Также они не понимали, на что именно требуется обращать внимание на картинке, а что можно игнорировать.

Понимание решеток понятий
После рассказа ученикам введения в решетки и решетки понятий, был подтвержден список наиболее популярных вопросов после первого знакомства с данной областью:
Каково предназначение узлов в основании и на вершине решетки?
Почему есть неотмеченные узлы?
Как по диаграмме определить содержание и расширение понятия?
Как соотносятся 2 вершины, не соединенные ребром, но имеющие путь из одной в другую?
Что такое супремум и инфинум?
Как определить, является ли диаграмма решеткой?

Выводы
Данная работа послужила стартом дискуссии по изучению основ АФП.
Значимая часть основных терминов АФП являются общеизвестными и понятными среди математиков, но все же они отличаются от ассоциативных понятий естественного языка.
Визуализация полезна только тем, кто имеет навыки ее прочитать. Иначе неизбежны ложные представления и недопонимания.
Большинство педагогов предпочитают фокусироваться больше на конкретных примерах, чем на природе изучаемого объекта.