Дифференциальные уравнения (продолжение)

I. Примеры
Найти общий интеграл.
Поделим обе части на
чтобы разделить переменные.
Проинтегрируем обе части:
- общий интеграл
После нехитрых преобразований можно разрешить это уравнение относительно
y и получить общее решение.
1.

Перепишем уравнение, заменив
на
- общий интеграл
2.

- общий интеграл
Приведем уравнение к уравнению с разделяющимися переменными, вынося
общие множители за скобки:
3.

4. Найти частный интеграл уравнения
удовлетворяющий начальному условию
Найдем вначале общий интеграл.

- общее решение
Используя начальное условие, подставляем в общее решение значения
Найденное значение константы
подставляем в общее решение
- искомое частное решение

Дифференциальное уравнение называется линейным, если оно
линейно (т.е. первой степени) относительно искомой функции и её
производной
II. Линейные однородные дифференциальные уравнения 1-ого порядка.
Общий вид линейного уравнения:
Рассмотрим случай однородного уравнения, когда
, т.е.:
Это уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными:

Интегрируем:
здесь
Пример.
Найти общее решение.
Здесь
и тогда
- искомое общее решение

III. Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка.
Уравнение вида решается последовательным n-кратным интегрированием.
Умножаем обе части уравнения на dx:
Интегрируем:
Получаем уравнение (n-1)-го порядка:
,где первообразная для f(x)
Снова умножаем обе части на dx и интегрируем:
или
и т.д.
Общее решение будет зависеть от n произвольных констант

Пример.

которое получается из уравнения (1) заменой в нём производных искомой
функции соответствующими степенями , причём сама функция
заменяется единицей.
в котором все члены имеют первую степень относительно функции и её
производных, а коэффициенты
IV. Линейные однородные дифференциальные уравнения II-ого порядка с постоянными коэффициентами.
Такими уравнениями называются уравнения вида:
(1)
- постоянные
Для отыскания общего решения уравнения составляется характеристическое
уравнение:
(2)

где и - линейно независимые частные решения уравнения (1),
а и - произвольные постоянные.
Общее решение имеет вид
Строится общее решение в зависимости от дискриминанта
квадратного уравнения (2):
В этом случае имеем 2 различных действительных корня и ,
и общее решение имеет вид:
3)
В этом случае имеем пару комплексных сопряженных корней
где - мнимая единица, и -
действительные числа.
1)
2)
В этом случае имеем единственный действительный корень , и общее
решение имеет вид:

Общее решение имеет вид:
Примеры выделения чисел и :
1.
2.

Примеры интегрирования уравнений
1.
Характеристическое уравнение:
Имеем случай 1)
- общее решение
2.
Характеристическое уравнение:
Имеем случай 2). Общее решение запишется:

3.
Характеристическое уравнение:
Имеем случай 3).
Общее решение:
4. Найти частное решение уравнения
с начальными условиями
Найдём общее решение. Характеристическое уравнение:
имеем 2 комплексных корня