Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка

Функция y = f(x, у) называется однородной функцией n – ого порядка, если при умножении каждого ее аргумента на произвольный множитель k вся функция умножится на kn:
Однородные дифференциальные уравнения
Например, функция
является однородной функцией второго порядка, так как:
Дифференциальное уравнение
называется однородным, если f(x, у) есть однородная функция нулевого порядка.
(1)

Однородное дифференциальное уравнение вида (1) приводится к уравнению с разделяющимися переменными при помощи подстановки:

Однородное уравнение часто задается в дифференциальной форме:
Уравнение (2) будет однородным, если P(x; y) и Q(x; y) – однородные функции одинакового порядка.
При интегрировании уравнения вида (2) можно сначала привести его к виду (1) или сразу сделать подстановку:
(2)

Пример.
Уравнение является однородным, так как функции:
- однородные второго порядка
Пусть:

Линейные дифференциальные уравнения
ДУ первого порядка называется линейным, если его можно записать в виде:
Метод Бернулли.
Решение уравнения ищется в виде произведения двух функций, то есть с помощью подстановки:
Где u(x) и v(x) – неизвестные функции, причем одна из них произвольная функция, не равная нулю.
(3)

Подставим в уравнение (3):
Подберем функцию v(x) так, чтобы выражение, стоящее в скобках было равно нулю, то есть решим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:
Подставим найденную функцию v(x) в уравнение (*)
Получим еще одно уравнение с разделяющимися переменными, решив которое найдем функцию u(x)
(*)

Пример.
Таким образом, общее решение уравнения:
При нахождении функции v(x) произвольная постоянная С
не прибавляется
При нахождении функции u(x) произвольная постоянная С
прибавляется
Положим: