Преобразование графиков элементарных функций

Содержание
Параллельный перенос по оси Оу.
Параллельный перенос по оси Ох.
Симметричное отображение относительно оси Ох.
Симметричное отображение относительно оси Оу.
Графики функций, содержащих модуль.
Растяжение (сжатие) вдоль оси Оу.
Растяжение (сжатие) вдоль оси Ох.
Задачи.
1
Управляющие кнопки: ─ вперед, ─ назад,
─ к содержанию, ─ к задачам по теме
2

y = f(x) + a
y = f(x)
y = f(x) - a
+a
-a
Преобразование графиков функций. Т1. Параллельный перенос по оси Оу
y = f(x)
график исходной
функции
y = f(x) + a
y = f(x) – a
параллельный
перенос вверх
по оси Оу
параллельный
перенос вниз
по оси Оу
х
у
0

y = f(x+а)
y = f(x)
y = f(x-а)
-a
+a
Преобразование графиков функций. Т2. Параллельный перенос по оси Ох
y = f(x)
график исходной
функции
y = f(x+a)
y = f(x–a)
параллельный
перенос влево
по оси Ох
параллельный
перенос вправо
по оси Ох
х
у
0

y = - f(x)
y = f(x)
Преобразование графиков функций.
Т3. Симметричное отображение относительно оси Ох
y = f(x)
график исходной
функции
y = - f(x)
симметричное
отображение
относительно
оси Ох
х
у
0
-с
+с
в

y = f(-x)
y = f(x)
Преобразование графиков функций.
Т4. Симметричное отображение относительно оси Оу
y = f(x)
график исходной
функции
y = f(-x)
симметричное
отображение
относительно
оси Оу
х
у
0
-с
+a
-a

y =|f(x)|
y = f(x)
Преобразование графиков функций.
Т5.1. Графики функций, содержащих модуль. y = f(x)
график исходной
функции
y =|f(x)|
часть графика,
лежащая над осью Ох
сохраняется, часть
лежащая ниже оси Ох,
симметрично
отображается
относительно оси Ох
у

Преобразование графиков функций.
Т5.2.Графики функций, содержащих модуль.
y = f(x) - график исходной
функции
y = f(|x|)
часть графика
при х > 0 сохраняется,
она же симметрично
отображается
относительно
оси Оу
х
у
0
y = f(x)
y = f(|x|)

y = 2f(x)
y = f(x)
Преобразование графиков функций.
Т6.1. Растяжение вдоль оси Оу
y = f(x)
график исходной
функции
y = kf(x)
растяжение вдоль
оси Оу в k раз если
k > 1
(на рисунке k = 2)
х
у
0
2
-2
-1
1

y = 1/2f(x)
y = f(x)
Преобразование графиков функций.
Т6.2. Сжатие вдоль оси Оу
y = f(x)
график исходной
функции
y = kf(x)
сжатие вдоль
оси Оу в 1/k раз
если k < 1
(на рисунке k = 1/2)
х
у
0
1/2
-1/2
1
-1

y = f(2х)
y = f(x)
Преобразование графиков функций.
Т7.1. Растяжение вдоль оси Ох
y = f(x)
график исходной
функции
y = f(kx)
растяжение вдоль
оси Ох в 1/k раз если
k < 1
(на рисунке k = 1/2)
х
у
0
2
-2
-1
1

y = f(2х)
y = f(x)
Преобразование графиков функций.
Т7.2. Сжатие вдоль оси Ох
y = f(x)
график исходной
функции
y = f(kx)
сжатие вдоль
оси Ох в k раз если
k > 1
(на рисунке k = 2)
х
у
0
1
-1
-2
2

Задачи
1. (параллельный перенос вдоль оси Оу)
2. (параллельный перенос вдоль оси Ох)
1.,2. (параллельный перенос вдоль осей координат)
3. (симметричное отображение относительно оси Ох)
4. (симметричное отображение относительно оси Оу)
5.1 (графики функций, содержащих модуль)
5.2 (графики функций, содержащих модуль)
6. (растяжение и сжатие вдоль оси Оу)
7. (растяжение и сжатие вдоль оси Ох)

Назовите функции, графики которых можно построить путем параллельного переноса исходного графика вдоль оси Оу : , у = (х–8)2 , у = х3+3 , у = х + 4 ,
, у = х2 – 2 , ,
Тема 1. Задание 1
График исходной функции у = f(x) задан точками
А(-5;-3) → В(-2;3) → С(1;3) → Д(5;0). Постройте графики функции у = f(x)+3 и функции у = f(x)─2
помощь
ответ
Задание 2
ответ
Задание 3
Постройте графики функций,
найденных в задании 2.
ответ

Помощь. Тема 1. Задание 1.
Для построения графика у = f(x)+3 необходимо выполнить параллельный перенос графика у = f(x) на 3 единицы вверх вдоль оси Оу.
Таким образом точка А(-5;-3) перейдет в точку А1(-5;0) , точка В(-2;3) → В1(-2;6) , точка С(1;3) → С1(1;6) , точка
Д(5;0) → Д1(5;3)
Для построения графика у = f(x)-2 необходимо выполнить параллельный перенос графика у = f(x) на 2 единицы вниз вдоль оси Оу.
Таким образом точка А(-5;-3) перейдет в точку А2(-5;-5) , точка В(-2;3) → В2(-2;1) , точка С(1;3) → С2(1;1) , точка
Д(5;0) → Д2(5;-2)

Ответ 1.1.
Путем параллель-ного переноса исходного графика вдоль оси Оу можно построить графики следующих функций:
у = х3+3 ,
у = х + 4 ,
у = х2 –2 ,
y = f(x)
y = f(x) + 3
y = f(x) – 2
Ответ 1.2.

у = х+4
у = х3+3
у = х2 –2
Ответ 1.3.

Назовите функции, графики которых можно построить путем параллельного переноса исходного графика вдоль оси Ох : , у = (х–4)2 , у = х3+3 , у = х + 4 ,
, у = х2 – 2 , ,
Тема 2. Задание 1
График исходной функции у = f(x) задан точками
А(-5;-3) → В(-2;3) → С(1;-2) → Д(5;0). Постройте графики функции у = f(x+2) и функции у = f(x─3)
помощь
ответ
Задание 2
ответ
Задание 3
Постройте графики функций,
найденных в задании 2.
ответ

Помощь. Тема 2. Задание 1.
Для построения графика у = f(x+2) необходимо выполнить параллельный перенос графика у = f(x) на 2 единицы влево вдоль оси Ох.
Таким образом точка А(-5;-3) перейдет в точку А1(-7;-3) , точка В(-2;3) → В1(-4;3) , точка С(1;-2) → С1(-1;-2) , точка
Д(5;0) → Д1(3;0)
Для построения графика у = f(x-3) необходимо выполнить параллельный перенос графика у = f(x) на 3 единицы вправо вдоль оси Ох.
Таким образом точка А(-5;-3) перейдет в точку А2(-2;-3) , точка В(-2;3) → В2(1;3) , точка С(1;-2) → С2(4;-2) , точка
Д(5;0) → Д2(8;0)

Путем параллель-ного переноса исходного графика вдоль оси Ох можно построить графики следующих функций:
у = (х – 4)2 ,
у = (х +4) ,
y = f(x)
y = f(x+2)
y = f(x–3)
Ответ 2.1.
Ответ 2.2.

Ответ 2.3.
у =(х –4)2

Т 1.2. Параллельный перенос по осям координат
вдоль оси Оу вдоль оси Ох
у
y = f(x) + a
y = f(x)
y = f(x) - a
+a
-a
х
0
y = f(x)
y = f(x-а)
-a
+a
х
у
0
y = f(x+а)

Тема 1, Тема 2. Задание 1.
Используя правила параллельного переноса вдоль координатных осей установите соответствие между формулой, задающей функцию и правилом преобразования ее графика.
График данной функции построен путем
параллельного переноса графика функции
у = f(x) :
- на 3 ед. вниз по оси Оу;
- на 3 ед. вправо по Ох и на 3 вниз по Оу;
- на 3 ед. вверх по оси Оу;
- на 3 ед.влево по оси Ох и на 3 вниз по Оу;
- на 3 ед. вправо по оси Ох;
- на 3 ед. влево по оси Ох и на 3 вверх по Оу;
- на 3 ед. вверх по оси Оу и на 3 вправо по Ох

-3
Тема 1, Тема 2. Задание 2.
Используя правила параллельного переноса вдоль координатных осей, постройте графики функций:
1) у=(х+2)2 – 3 , 2),
3) у=(х–3)3 – 4 , 4)
-2
-3
у =(х +2)2 –3
1)
помощь
-2

2
2
2)
3)
у =(х –3)3 – 4
3
-4
4)
-3
-2

Помощь. Тема 1. Тема 2. Задание 1.
1. Для построения графика у = (x+2)2 –3 необходимо выполнить параллельный перенос графика у = x2 на 2 единицы влево вдоль оси Ох, затем полученный график перенести на 3 единицы вниз вдоль оси Оу.
2. Данный график можно построить путем параллель-ного переноса осей координат: ось Оу – на 2 единицы влево, а ось Ох – на 3 единицы вниз. Затем построить график у = x2 в новой системе координат.

Назовите функции, графики которых можно построить путем симметричного отображения исходного графика относительно оси Ох : у = (4–х)2 , у = – х3 ,
, у = –(х +2)2 , ,
Тема 3. Задание 1
График исходной функции у = f(x) задан точками
А(-6;-3) → В(-3;2) → С(1;0) → Д(3;3) → Е(7;-4).
Постройте график функции у = - f(x) .
помощь
ответ
Задание 2
ответ
Задание 3
Постройте графики функций,
найденных в задании 2.
ответ
помощь

Помощь. Тема 3. Задание 1.
Для построения графика у = - f(x) необходимо выполнить симметричное отображение графика
у = f(x) относительно оси Ох.
Таким образом точка А(-6;-3) перейдет в точку А1(-6;3) , точка В(-3;2) → В1(-3;-2) , точка С(1;0) → С1(1;0) , точка
Д(3;3) → Д1(3;-3) , точка Е(7;-4) → Е1(7;4)
Графики функций у = –(х+2)2 и строятся с использованием двух преобразований: симметричного отображения относительно оси Ох и параллельного переноса вдоль оси Оу. Необходимо помнить, что эти преобразования можно выполнять в любом порядке:
1. у=х2 → у=(х+2)2 → у= –(х+2)2
исходная функция → перенос влево на 2 ед. → отображение отн. Ох.
2. у=х2 → у= –х2 → у= –(х+2)2 исходная функция → отображение отн. Ох → перенос влево на 2 ед.
3.
4.
Задание 3.
→
→
→
→

Ответ 3.1.
y = f(x)
y = - f(x)
Ответ 3.2.
Путем симметричного отображения исходного графика относительно оси Ох можно построить графики следующих функций:
у = – х3 ,
у = –(х + 2)2 ,

Ответ 3.3.
у = – х3
у = – (х +2)2

Назовите функции, графики которых можно построить путем симметричного отображения исходного графика относительно оси Оу : у = (2–х)3 , у = – х ,
, у = –(х +2)2 , ,
Тема 4. Задание 1
График исходной функции у = f(x) задан точками
А(-6;2) → В(-3;2) → С(0;-1) → Д(3;3) → Е(7;-4).
Постройте график функции у = f(-x) .
помощь
ответ
Задание 2
ответ
Задание 3
Постройте графики функций,
найденных в задании 2.
ответ
помощь

Помощь. Тема 4. Задание 1.
Для построения графика у = f(-x) необходимо выполнить симметричное отображение графика
у = f(x) относительно оси Оу.
Таким образом точка А(-6;2) перейдет в точку А1(6;2) , точка В(-3;2) → В1(3;2) , точка С(0;-1) → С1(0;-1) , точка
Д(3;3) → Д1(-3;3) , точка Е(7;-4) → Е1(-7;-4)
Графики функций у = (4–х)3 и , строятся с использованием двух преобразований: симметричного отображения относительно оси Оу и параллельного переноса вдоль оси Ох. Необходимо помнить, что эти преобразования выполняются в следующем порядке:
1. у=х3 → у=(2+х)3 → у=(2–х)3
исходная функция → перенос влево на 2 ед. → отображение отн. Оу.
2. → →
исходная функция → перенос влево на 4 ед. → отображение отн. Оу
3.
Задание 3.
→
→

Ответ 4.1.
y = f(x)
y = f(-x)
Ответ 4.2.
Путем симметричного отображения исходного графика относительно оси Ох можно построить графики следующих функций:
у = – х ,
у = (2–х)3 ,

Ответ 4.3.
у = – х
у =(2 – х)3

Тема 5.1. Задание 1
График исходной функции у = f(x) задан точками
А(-6;1) → В(-3;4) → С(0;-2) → Д(3;2) → Е(7;-5).
Постройте график функции у = |f(x)|.
ответ
Для построения графика у = |f(x)| необходимо выполнить симметричное отображение части графика у = f(x) , лежащей ниже оси Ох относительно оси Оу, часть графика, расположенная выше оси Ох полностью сохраниться.
Таким образом точки А(-6;1) , В(-3;4) , Д(3;2) сохранят свои координаты, а точка С(0;-2) перейдет в точку С1(0;2) , точка Е(7;-5) перейдет в точку Е1(7;5).
Помощь.

Ответ 5.1.1.
y = f(x)
y = |f(x)|

Тема 5.1. Задание 2
Используя основные правила преобразования графиков,
постройте графики функций:
ответ

Ответ 5.1.2.
y = x
y = |x|
y = x+1
y = |x+1|
y = |x – 3|
0
у
х
y = x – 3
y = –х +2
y = |2 – х|
y = |x| – 4
у = ||х| – 4|

Тема 5.1. Задание 3
Используя основные правила преобразования графиков,
постройте графики функций:
ответ

Ответ 5.1.3.
y = x2
y = |x2|
y = x2 – 4
y = |x2 – 4|
у = (х –2)2 –1
у = |(х –2)2 –1|
у = |х2 – 1|
у = |х2 – 1|– 3
у = ||х2 – 1|– 3|

Тема 5.2. Задание 1.
График исходной функции у = f(x) задан точками
А(-8;2) → В(-4;2) → С(-2;-6) → Д(6;6) → Е(9;6) → К(11;9).
Постройте график функции у = f(|x|).
ответ
помощь
Задание 2.
Используя правила построения графика функции у= f(|x|) постройте графики функций:
1) у=|х| , 2) у=|х|2 , 3) у=|х|3 , 4) , 5)
Задание 3.
помощь
ответ
Пользуясь всеми изученными правилами преобразования графиков, постройте графики следующих функций:
1) у=|х|+ 2 , 2) у=(|х|+ 1)2 , 3) у=(|х|– 1)2 ,
4) , 5)
ответ

Помощь. Тема 5.2. Задание 1.
Для построения графика у = f(|x|) необходимо часть графика
у = f(x) , лежащую справа от оси Оу сохранить и её же симметрично отобразить относительно оси Оу.
Таким образом точек А(-8;2) , В(-4;2) , С(-2;-6) на заданном графике не будет; точки Д(6;6), Е(9;6) и К(11;9) сохранят свои координаты, и они же отобразятся в точки Д1(-6;6), Е1(-9;6) и К1(-11;9).
Задание 3.

Ответ 5.2.1.
y = f(x)
y = f(|x|)

Ответ 5.2.2.
0
у
х
0
у
х
y = x
y = |x|
y = x2
y = |x|2
y = x3
y = |x|3

y = x+2
y = |x|+2
Ответ 5.2.3.
y = (x+1)2
y = (|x|+1)2
y = (x-1)2
y = (|x|-1)2
0
у
х

Тема 6. Задание 1.
График исходной функции у = f(x) задан точками
А(-7;0) → В(-5;2) → С(-2;0) → Д(0;-2) → Е(3;-2) → К(4;0) → Р(9;3).
Постройте графики функций у = 3f(x) и у = 0,5f(x)
ответ
помощь
Задание 2.
Используя правила построения графика функции у= кf(x) постройте графики функций:
1) у= –0,5х , 2) у= 3х2 , 3) у= 0,5х3 , 4) , 5)
Задание 3.
ответ
Пользуясь всеми изученными правилами преобразования графиков, постройте графики следующих функций:
1) у= 3х + 3 , 2) у= 2(х+2)2 , 3) у= – 0,5(х – 1)2 ,
4) , 5)
ответ
помощь

Помощь. Тема 6. Задание 1.
Для построения графика у = 3f(x) необходимо выполнить растяжение графика у = f(x) в 3 раза вдоль оси Оу. Таким образом, точки А(-7;0), С(-2;0), и К(4;0) сохранят свои координаты, а точка В(-5;2) перейдет в точку В1(-5;6) , точка Д(0;-2) → Д1(0;-6), точка Е(3;-2) → Е1(3;-6), точка Р(9;3) → Р1(9;9)
Для построения графика у = 0,5f(x) необходимо выполнить сжатие графика у = f(x) в 2 раза вдоль оси Оу.
Таким образом, точки А(-7;0), С(-2;0), и К(4;0) сохранят свои координаты, а точка В(-5;2) перейдет в точку В1(-5;1) , точка Д(0;-2) → Д1(0;-1), точка Е(3;-2) → Е1(3;-1), точка Р(9;3) → Р1(9;1,5)

Помощь. Тема 6. Задание 3.

Ответ 6.1.
y = f(x)
y = 3f(x)
y = 0,5f(x)

Ответ 6.2.
0
у
х
0
у
х
y = -x
y = -0,5x
y = x2
y = 3x2
y = x3
y = 0,5x3

Ответ 6.3.
0
у
х
y = 3x
y = 3x+3
y = x2
y = 2(x+2)2
0
у
х
y = x
y = (x+2)2
y = x2
y = (x-1)2
y = 0,5(x-1)2
y = -0,5(x-1)2

Тема 7. Задание 1.
График исходной функции у = f(x) задан точками
А(-6;-2) → В(-3;0) → С(0;8) → Д(3;3) → Е(6;-4) → К(9;0) .
Постройте графики функций у = f(3x) и у = f(0,5x)
ответ
помощь
Задание 2.
Пользуясь всеми изученными правилами преобразования графиков, постройте графики следующих функций:
1) у= 3х + 3 , 2) у= 2(х+2)2 , 3) у= – 0,5(х – 1)2 ,
4) , 5)

Помощь. Тема 7. Задание 1.
Для построения графика у = f(3x) необходимо выполнить сжатие графика у = f(x) в 3 раза вдоль оси Ох. Таким образом, точка А(-6;-2) перейдет в точку А1(-2;-2), точка В(-3;0) → В1(-1;0), точка С(0;8) сохранит свои координаты, точка Д(3;3) → Д1(1;3), точка Е(6;-4) → Е1(2;-4), точка К(9;0) → К1(3;0)
Для построения графика у = f(0,5х) необходимо выполнить растяжение графика у = f(x) в 2 раза вдоль оси Ох. Таким образом, точка А(-6;-2) перейдет в точку А1(-12;-2), точка В(-3;0) → В1(-6;0), точка С(0;8) сохранит свои координаты, точка Д(3;3) → Д1(6;3), точка Е(6;-4) → Е1(12;-4), точка К(9;0) → К1(18;0)