Теория вероятностей. Задачи ЕГЭ

Классическое определение вероятности.

Правило сложения.
Если некоторый объект A можно выбрать k способами, а объект B - l способами (не такими как А), то объект "или А или В" можно выбрать m + l способами.

Правило умножения.
Если объект А можно выбрать k способами, а после каждого такого выбора другой объект В можно выбрать (независимо от объекта А) l способами, то пары объектов А и B можно выбрать m·l способами.

Задача № 1.
В среднем из 1000 садовых насосов, поступивших в продажу, 5 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.

Решение:
Событие A - "выбранный насос не подтекает".
Всего насосов n = 1000. Из них 5 подтекают, значит не подтекают
m = 1000 - 5 = 995.
По формуле P =n/m= 995/1000 =0,995

Задача № 2
Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то момент сломались и перестали ходить. Найдите вероятность того, что часовая стрелка застыла, пройдя отметку 11 часов, но не дойдя до отметки 2 часа.

Решение:
P=n/m
m=12 (12 часовой циферблат)
n=3 ( стрелка не прошла 3 часа)
P=3/12=0,25

Задача № 3 .
Научная конференция проводится в 4 дня. Всего запланировано 50 докладов: первые два дня по 15 докладов, остальные распределены поровну между третьим и четвёртым днями. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции?

Решение:
Получается, что в первый день 15 докладов, во второй 15 докладов, в третий 10 и в четвертый тоже 10 докладов. Всего докладов 50 (m=50).
Профессор М. мог попасть в любой из этих 50 докладов равновероятно.
В последний день запланировано 10 докладов (n=10), т.е. вероятность, что профессор М. будет выступать в последний день равна:
P=10/50 = 0,2.

Задача № 4.
Даша дважды бросает игральный кубик. В сумме у нее выпало 8 очков. Найдите вероятность того, что при одном из бросков выпало 2 очка.

Решение:
Чтобы выпало 8 очков за 2 броска, нужно чтобы при каждом бросании кубика было больше 1.
Получается, что 8 очков может выпасть так:
2 и 6, 3 и 5, 4 и 4, 5 и 3, 6 и 2.
m=5 (все исходы), а n=2.
Вероятность того, что при одном из бросков выпало 2 очка, равна
P= 2/5=0,4.

Задача № 5.
Игральную кость (кубик) бросили один раз. Какова вероятность того, что выпало менее 4 очков?

Решение:
У кубика 6 граней, поэтому всего возможно 6 вариантов: 1, 2, 3, 4, 5 и 6 очков. Получаем, что m = 6 — по числу граней.
Нас интересуют случаи, когда выпадает менее 4 очков. Другими словами, если выпадет 1, 2 или 3 очка, нас это устраивает. Всего таких вариантов n = 3. Находим вероятность:
P = n/m = 3/6 = 1/2 = 0,5.

Задача № 6.
Игральную кость (кубик) бросили один раз. Какова вероятность того, что выпало не менее 4 очков?

Решение:
Фраза «не менее 4 очков» означает, что нас интересует 4, 5 и 6 очков. Поэтому n = 3.
Всего возможно 6 вариантов (по числу граней кубика), поэтому
m = 6.
Осталось найти вероятность:
P = n/m = 3/6 = 1/2 = 0,5

Задача № 7.
Игральную кость (кубик) бросили один раз. Какова вероятность того, что выпало нечетное число очков?

Решение:
Возможные варианты: 1, 2, 3, 4, 5 и 6 очков. Поэтому m = 6.
Из указанных чисел являются нечетными лишь 1, 3 и 5 — всего 3 числа (откуда заключаем, что n = 3). Осталось найти вероятность:
P = n/m = 3/6 = 1/2 =0,5.

Задача № 8.
В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков. Результат округлите до сотых.

Решение:
Бросаем первую кость — шесть исходов. И для каждого из них возможны еще шесть — когда мы бросаем вторую кость.
Получаем, что у данного действия — бросания двух игральных костей — всего 36 возможных исходов, так как 6² = 36.
А теперь — благоприятные исходы:
2 и 6;3 и 5; 4 и 4 ;5 и 3 ;6 и 2
Вероятность выпадения восьми очков равна P = n/m = 5/36 ≈ 0,14.

Задача № 9.
Стрелок попадает в цель с вероятностью 0,9. Найдите вероятность того, что он попадёт в цель четыре раза выстрела подряд.

Решение:
Если вероятность попадания равна 0,9 — следовательно, вероятность промаха 0,1.
Вероятность двух попаданий подряд равна 0,9 • 0,9 = 0,81.
А вероятность четырех попаданий подряд равна
0,9 •0,9 •0,9• 0,9 = 0,6561.

Задача № 10.
Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,9, если
стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из
непристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,1. На
столе лежит 10 револьверов, из них только 3 пристрелянные. Ковбой Джон
видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и
стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнётся.

Решение:
Вероятность того, что Джон возьмет пристрелянный револьвер равна 3/10,а непристярелянный- 7/10.
Вероятность попадания из пристрелянного револьвера равна 0,3•0,9,а из непристрелянного- 0,7•01.
Джон убьет муху с вероятностью 0,27+0,07=0,34.
Промахнется он с вероятностью
1-0,34=0,66.

Задача № 11.
По отзывам покупателей Василий Васильевич оценил надёжность двух интернет‐магазинов. Вероятность того, что нужный товар доставят из магазина А, равна 0,8. Вероятность того, что этот товар доставят из магазина Б, равна 0,88. Василий Васильевич заказал товар сразу в обоих магазинах. Считая, что интернет‐магазины работают независимо друг от друга, найдите вероятность того, что ни один магазин не доставит товар.

Решение:
Вероятность недоставки из магазина А равна 1-0,8=0,2, а из магазина В-
1-0,88=0,12.
Вероятность того, что ни один магазин не доставит товар 0,2•0,12=0,024.