Перпендикулярность прямой и плоскости

Обучающие:
«открыть»понятия перпендикуляра и наклонной к плоскости;
формировать умения: читать чертеж; применять определение прямой, перпендикулярной к плоскости, признак перпендикулярности прямой и плоскости к задачам на доказательство;
выработать навыки решения ключевых задач на перпендикулярность прямой и плоскости.
Развивающие:
развивать пространственное воображение , логическое мышление;
самостоятельность учащихся и творческое отношение к выполнению заданий.
Воспитательные:
воспитывать волю и настойчивость для достижения конечных результатов при решении задач, культуру общения.
Цели:

Взаимное положение прямой и плоскости
a
a║
a
a
a
a

Лемма: Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой.
C
M
c
a
b
A
Дано: a║b; a┴с
Доказать: b┴c
Доказательство:
Проведем CM║c, MA║a.
Так как a┴с, то └AMC=90
a║b (по условию)
MA║a.(по построению)
}=>
MA║b, MC║c
MA┴MC
}=>
b┴c

Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости,
то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости
Утверждение 1.
Утверждение 2.
b
х
Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны
b
,
||
||
,

а
а1
х
Теорема: Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.
Доказательство:
Дано: a║а1; a ┴
Доказать: a1 ┴
x
Так как a ┴
, то a ┴ х.
Значит по лемме а1 ┴ х
=> a1 ┴

Теорема: Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны.
M
c
a
b
b1
Дано: a┴ b┴
Доказать: a║b
Доказательство:
Через точку М прямой b проведем b1║a, => b1┴
Докажем, что b и b1 совпадают
Допустим, что они не совпадают. Тогда в плоскости через точку М проходят две прямые , перпендикулярные к прямой с но это невозможно. Значит а║b.

Признак перпендикулярности
прямой и плоскости
b
c
,
O

.
M
a
b
c
Теорема о прямой, перпендикулярной к плоскости.
Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной плоскости, и при том только одна.
Дано:
Доказать: M с, c┴
M,
Доказательство:
Проведем в плоскости прямую а и рассмотрим плоскость М ┴а.
∩
=b
В плоскости проведем прямую с┴b
с- искомая прямая
Предположим, что через точку М проходит еще одна прямая с1 ┴
Тогда с1║ с, это невозможно, так как с1∩ с = М

Устная работа
№3
Сторона АВ правильного треугольника АВС лежит в плоскости . Может ли
прямая BC быть перпендикулярна
к этой плоскости?
Могут ли быть перпендикулярны к плоскости две стороны треугольника одновременно?
Верно ли утверждение: прямая перпендикулярна к плоскости, если она перпендикулярна к прямой, принадлежащей плоскости?

Прямая a перпендикулярна
к плоскости , прямая b не перпендикулярна к плоскости . Могут ли прямые a и b быть параллельными?
Верно ли утверждение: если прямая перпендикулярна к плоскости, то она перпендикулярна лежащим в этой плоскости двум сторонам треугольника?
Верно ли утверждение: если прямая перпендикулярна двум прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к данной плоскости?
Устная работа

Через вершину квадрата ABCD проведена прямая AM, перпендикулярная к плоскости квадрата. Докажите, что прямая AD перпендикулярна к плоскости, проходящей через прямые AM и AB.
М
В
А
С
D
Через центр окружности, описанной около треугольника ABC, проведена прямая, перпендикулярная к плоскости треугольника ABC. Докажите, что каждая точка этой прямой равноудалена от вершин треугольника ABC.
А
В
С
На практике вертикальность столба проверяют, глядя на столб поочередно с двух направлений. Как обосновать правильность такой проверки?
О
М
Устная работа

КАРТОЧКА 2.
Отрезок EF является средней линией прямоугольного треугольника ABC
( ACB=90 ). Через точку E проведен перпендикуляр ME к плоскости этого треугольника.
Доказать:
1) MF AC, 2) MC=MA.
Карточки для индивидуальной
работы
КАРТОЧКА 1
Дан куб .
Доказать:
1)
2)

Перпендикуляр и наклонная
к плоскости
А
А1
В
Прямая проходит через точку А перпендикулярно к плоскости .
Точка - проекция точки А на плоскость .
Отрезок называется перпендикуляром к плоскости.
Точка -основание перпендикуляра.
Расстояние от точки А до плоскости равно длине этого перпендикуляра.
Точка В - произвольная точка плоскости.
Отрезок АВ- наклонная к плоскости.
Точка В-основание наклонной.
Отрезок -проекция наклонной
АВ на плоскость .

Решение задач по готовым
чертежам
Дано:
M (ABC),
MBCD – прямоугольник.
Доказать:
прямая CD (ABC)
Дано:
ABCD – параллелограмм.
Доказать:
прямая MO (ABC)
№2
№1

Решение задач по готовым
чертежам
Дано:
AH , AB – наклонная.
Найти AB.
Дано:
AH , AB – наклонная.
Найти AН, ВН.
№3
№4

Работа в парах
Дано:
прямая МС (АВС),
АСВ=90
AC=4, MD=3.
Найти длину отрезка MC.
Дано: прямая MD (AВС ) ,
АВС- равносторонний,
Найти МС.
№1
№2

Самостоятельная работа.