Понятие производной

Понятие производной
Производной функции у = f(x), заданной на некотором интервале (a; b), в некоторой точке х этого интервала называют предел отношения приращения функции в этой точке к соответствующему приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.
Нахождение производной называют дифференцированием

Понятие производной
х0
х0+ ∆х
f(x0)
f(x0 + ∆х)
∆х
х
у
0
∆f
у = f(x)

Зафиксировать значение х0, найти f(x0).
Дать аргументу х0 приращение ∆х, перейти в новую точку х0 + ∆х, найти f(x0 + ∆х).
Найти приращение функции: ∆f = f(x0 + ∆х) – f(x0).
Составить отношение .
Вычислить lim .
Этот предел и есть f ′(x0).
Алгоритм нахождения производной

Примеры
1. Найти производную функции y = kx + b в точке хo

Примеры
2. Найти производную функции y = C (C – const) в точке хo

Примеры
3. Найти производную функции y = x2 в точке хo

Примеры

Примеры

Примеры
5. Найти производную функции y = 1/x в точке хo

Примеры
5. Найти производную функции y = 1/x в точке хo

Физический ( механический ) смысл производной
Если при прямолинейном движении путь s, пройденный точкой, есть функция от времени t, т.е. s = s(t), то скорость точки есть производная от пути по времени, т.е. v(t) = s′(t).
Производная выражает мгновенную скорость в момент времени t.

Если функция имеет производную (дифференцируема) в точке х, то она непрерывна в этой точке.

Прочитайте п.4.1, обратите внимание на понятия выделенные в розовых рамках Стр92,94..
Рассмотрите примеры в учебнике и в презентации.
Попробуйте выполнить №4.1 и 4.3.