Построение сечений

Построение сечений
Построение сечений многогранников можно осуществлять на основании аксиом стереометрии и теорем о параллельности прямых и плоскостей.
Вместе с тем, существуют определенные методы построения плоских сечений многогранников. Наиболее эффективными являются следующие три метода:
- метод следов
- метод внутреннего проектирования
- комбинированный метод

Построение сечений
Построение на основании аксиом стереометрии и теорем о параллельности прямых и плоскостей
-Задача №1
-Задача №2
- -Задача №3

№1. Построить сечение, определенное точками K, L, С.
Решение :
K
С
L
Прямая КС
2. Прямая СL
3. Прямая КL
∆КСL – сечение
А
В
S

N2. Построить сечение, определяемое параллельными прямыми АА1 и CC1.
А1
В1
С1
D1
С
В
D
1. Прямая А1С1
2. Прямая АС
АА1С1С - сечение
А
Решение :

№3. Построить сечение, определяемое пересекающимися прямыми АС1 и А1С.
А
А1
В1
С1
D1
D
В
С
1. Прямые А1С и АС1
2. Прямые АС и А1С1
АА1С1С – искомое сечение
Решение :
3. Прямые АА1 и СС1

Метод следов
Прямая, по которой секущая плоскость α пересекает плоскость основания многогранника, называется следом плоскости α в плоскости этого основания.
Из определения следует, что в каждой его точке пересекаются прямые, одна из которых лежит в секущей плоскости, другая – в плоскости основания. Именно это свойство следов используется при построении плоских сечений многогранников методом следов. Причем в секущей плоскости удобно использовать такие прямые, которые пересекают ребра многогранника.

Метод следов
-Задача №4
-Задача №5
Построение
сечений

ЗАДАЧА №4
Построить сечение куба ABCDA1B1C1D1 плос -костью α, проходящей через точки P, R и M. Где М Є DD1,Р Є CC1,а R Є ВА.
A
B
C
D
B1
C1
D1
P
R
V
M
F
K
A1
N
Решение :
PMVRK - исходное сечение
PM
2) CD∩ PR =F
3) FR
4) FR∩ AD =V
5) CB∩ FR =N
6) NP
7) NP∩BB1 =K
8) KR
9) VM
10) KP
11) RV

ЗАДАЧА №5
Постройте сечение четырехугольной пирамиды плоскостью МNК. ( М,N,К – произвольные точки на ребрах SВ, АD и SC)
В
С
D
S
N
М
К
.
А
E
R
F
P
Решение :
1)ВС ∩ МК=Е
2) EN ∩ CD=R
3) BA ∩ EN =F
4) FM ∩ SA=P
MKRNP - искомое сечение
5) MK
6) KR
8) NP
7) NR
9) PM

Комбиниро-ванный метод
Сущность этого метода состоит в том, что на некоторых этапах построения сечения применяется или метод следов, или метод внутреннего проектирования, а на других этапах построения этого сечения осуществляется с использованием теорем о параллельности в пространстве и др.

Метод
внутреннего проектирования
-Задача №6
-Задача №7
Комбинированный метод
-Задача №8
Построение
сечений

Постройте сечение пирамиды плоскостью α=(MHK), где M Є PC, H Є PB, K Є PD.
D
.
M
H
K
В
А
С
P
E
F
L
Q
Решение :
1) CB ∩MH = E
2)CD ∩KM =Q
3)QE
4) QE∩ AD = L
5) QE∩ AB = F
MHFLK - искомое сечение
6) FH
7)KL
ЗАДАЧА № 6

ЗАДАЧА №7
Решение :
Построить сечение призмы ABCDEA1B1C1D1E1 плоскостью α, которая задана следом k в плоскости ABC основания призмы и точкой М, принадлежащей ребру DD1.
B
C
D
E
B1
C1
D1
E1
M
k
A
A1
R
1) DC ∩ k = R
2) MR ∩ CC1 = F
F
P
3) CB ∩ k = P
H
4) FP ∩ BB1 = H
G
5) FD ∩ k = G
T
6) GH ∩ AA1 = T
V
7) EA ∩ K = V
8) VT ∩ EE1 = E1
9)E1D1
MFHTE1 - искомое сечение

ЗАДАЧА №8
Постройте сечение параллелепипеда АВСDА1В1С1D1 плоскостью α ,заданной точками и P,Q,R, если точка Р лежит на диагонали А1С1, точка Q - на ребре ВВ1 и точка R- на ребре DD1 .
А
В
С
D
А1
В1
P
Q
R
С1
P1
E
K
d
M
H
N
Решение :
1) AC и BD
2) PP1 AC
3) P1B ∩PQ = E
4) DB ∩RQ = K
T
5) KE =d – след
HRNQM - искомое сечение
6) α ∩ A1B1C1=HR
7) α ∩ ABB1A1= QM
9) MQ ll RN
8) HM
10) QN

Самостоятельная работа.
(с последующей проверкой)

M
N
P
M
N
P
M
N
P
Решения варианта 1
Решения варианта 2
M
N
P
M
N
P
M
N
P

A
A1
B
B1
C
C1
D
D1
X
N
Y
F
U
T
Z
M
N1
Q
R
S
P1
1) PP1 и NN1
2) PN и P1N1
3) PN ∩ P1N1= X
4) XM
Постройте сечение
параллелепипеда
АВСDА1В1С1D1 проходя-
щее через точки М лежа
щей на грани ABCD, N –
на грани AA1B1B, Р – на
грани ВВ1С1С.
Решение :
5) AD∩ XM =Q
6) XM ∩CD = R
7) BC∩ XM =Y
8) PY
10) PY∩ СC1 = S
9) PY∩ B1C1= T
11) ВВ1 ∩ РY =Z
12) XZ
13) XZ ∩ A1B1= U
14) XZ ∩ AA1 =F
FUTSRQ – искомое сечение
P
ЗАДАЧА №9