Построение сечений многогранников

Содержанием работы является построение сечений по точкам, заданным на рёбрах многогранников:
2. Пирамиды
3. Призмы
1. Куба

А
В
С
D
A1
B1
C1
D1
Дан куб A B C D A1 B1 C1 D1

На гранях куба заданы точки
R, P, Q. Требуется построить
сечение куба плоскостью,
проходящей через заданные
точки.
А
В
С
D
A1
B1
C1
D1
R
P
Q

Точки Р и Q заданы, как
принадлежащие плоскости
сечения. В то же время эти
точки принадлежат плоскости
грани C D D1 C1, следовательно
линия PQ является линий
пересечения этих плоскостей
А
В
С
D
A1
B1
C1
D1
R
P
Q

Линии PQ и C1D1 лежат в
плоскости грани C C1 D1 D.
Найдем точку Е
пересечения линий PQ и
C1 D1.
А
В
С
D
A1
B1
C1
D1
R
P
Q
E

Точки R и E принадлежат
плоскости сечения
и плоскости основания куба,
следовательно линия RE,
соединяющая эти точки будет
линией пересечения
плоскости сечения и
плоскости основания куба .
А
В
С
D
A1
B1
C1
D1
R
P
Q
E

RE пересекает A1 D1 в точке F
и линия RF будет линией
пересечения плоскости
сечения и плоскости грани
A1 B1 C1 D1.
А
В
С
D
A1
B1
C1
D1
R
P
Q
E
F

Точки и Q, и F принадлежат
плоскости сечения
и плоскости грани A A1 D1
D, следовательно линия QF
будет линией пересечения
этих плоскостей.
А
В
С
D
A1
B1
C1
D1
R
P
Q
E
F

Линии RE и B1C1, лежащие в
плоскости основания куба
пересекаются в точке G.
А
В
С
D
A1
B1
C1
D1
R
P
Q
E
F
G

Точки P и G принадлежат
плоскости сечения и
плоскости грани B B1 C1 C,
следовательно линия PG
является линией пересечения
этих плоскостей
А
В
С
D
A1
B1
C1
D1
R
P
Q
E
F
G

PG пересекает B B1 в точке
H и линия PH будет линией
пересечения плоскости
сечения и плоскости грани
B B1 C1 C.
А
В
С
D
A1
B1
C1
D1
R
P
Q
E
F
G
H

Точки R и H принадлежат
плоскости сечения
и плоскости грани A A1 B1 B
и следовательно линия RH
будет линией пересечения
этих плоскостей.
А
В
С
D
A1
B1
C1
D1
R
P
Q
E
F
G
H

А пятиугольник RHPQF будет
искомым сечением куба
плоскостью, проходящей
через точки R, P, Q.
А
В
С
D
A1
B1
C1
D1
R
P
Q
E
F
G
H

А пятиугольник RHPQF будет
искомым сечением куба
плоскостью, проходящей
через точки R, P, Q.
А
В
С
D
A1
B1
C1
D1
R
P
Q
F
H

Дана пирамида SABCD.

Требуется построить сечение
заданной пирамиды плоскостью,
проходящей через точки:
М на ребре AS, P на ребре CS и
Q на ребре DS.
M
P
Q

M
P
Q
Точки M и Q лежат в плоскости
грани АSD. Линия МQ,
соединяющая эти точки является
линией пересечения плоскости
сечения и плоскости грани ASD.

M
P
Q
Линия QP, соединяющая
заданные точки Q и P, является
линией пересечения плоскости
сечения и плоскости грани DSC.

M
P
Q
Линии MQ и AD лежат в одной
плоскости грани ASD. Найдём
точку Е, как точку пересечения
линий MQ и AD.
Точка Е будет принадлежать
искомой плоскости сечения, так
как она принадлежит линии MQ,
лежащей в этой плоскости.
Е

M
P
Q
Е
Линии PQ и CD лежат в одной
плоскости грани CSD. Найдём
точку F, как точку пересечения
линий PQ и CD.
Точка F, как и точка Е, будет
принадлежать искомой плоскости
сечения, так как она принадлежит
линии PQ, лежащей в этой
плоскости.
F

M
P
Q
Е
F
Точки Е и F принадлежат
плоскости сечения и плоскости
основания пирамиды, поэтому
линия EF будет линией
пересечения плоскости сечения и
плоскости основания пирамиды.

M
P
Q
Е
F
Линии EF и BC лежат в одной
плоскости основания пирамиды
ABCD. Найдём точку G, как точку
пересечения линий EF и BC.
Точка G будет принадлежать
искомой плоскости сечения, так
как она принадлежит линии EF,
лежащей в этой плоскости.
G

M
P
Q
Е
F
G
Точки P и G принадлежат
плоскости сечения и плоскости
грани BSC, поэтому линия PG
будет линией пересечения
плоскости сечения и плоскости
грани BSC.

M
P
Q
Е
F
G
Линией пересечения плоскости
сечения и плоскости грани BSC
будет линия , являющаяся
продолжением PG, которая пересечёт
ребро BS пирамиды в точке H.
H

M
P
Q
Е
F
G
H
PH будет линией пересечения
плоскости сечения и плоскости
грани BSC.

M
P
Q
Е
F
G
H
Ну и наконец, так как точки M
и H одновременно принадлежат и
плоскости сечения и плоскости
грани ASB, то линия MH будет
линией пересечения этих
плоскостей.

M
P
Q
H
И четырёхугольник MHPQ
будет искомым сечением
пирамиды SABCD плоскостью,
проходящей через заданные точки
M, P, Q.
A
D
B
C

Дана трёхгранная призма
A B C A1 B1 C1. Требуется
построить сечение призмы
плоскостью, проходящей
через три заданные точки
D, E, и F.
A
B
C
A1
B1
C1
D
E
F

Точки D и E принадлежат
плоскости грани А А1 С1 С и плоскости сечения,
следовательно линия DE
будет линией пересечения
этих плоскостей.
A
B
C
A1
B1
C1
D
E
F

Точки E и F принадлежат
плоскости грани B C C1 B1 и плоскости сечения,
следовательно линия EF
будет линией пересечения
этих плоскостей.
A
B
C
A1
B1
C1
D
E
F

Линии DE и A A1 лежат в
плоскости грани A A1 C1 C.
Найдём точку G, пересечения
этих линий.
A
B
C
A1
B1
C1
D
E
F
G

Точка G принадлежит плоскости
сечения, так как она принадлежит
линии DE. Точки G и F принадлежат
плоскости грани A A1 B1 B и
плоскости сечения, следовательно
линия GF будет линией пересечения
этих плоскостей.
A
B
C
A1
B1
C1
D
E
F
G

В плоскости грани A A1 B1 B
линии GF и A1 B1 пересекаются
в точке L. Точки F и L принадлежат
плоскости грани A A1 B1 B и
плоскости сечения, следовательно
линия FL будет линией пересечения
этих плоскостей.
A
B
C
A1
B1
C1
D
E
F
G
L

Точки D и L принадлежат
плоскости основания призмы
A1 B1 C1 и плоскости сечения,
следовательно линия DL будет
линией пересечения этих
плоскостей.
A
B
C
A1
B1
C1
D
E
F
G
L

А четырёхугольник DEFL
будет искомым сечением
трёхгранной призмы плоскостью,
проходящеё через три заданные
точки D,E,F.
A
B
C
A1
B1
C1
D
E
F
L