Движения плоскости, вместо вычислений. Интерактивные уроки по геометрии

Включить демонстрационный материал к задаче
Выбрать задачу из общего списка (нажмите, чтобы перейти к ней)
Задача о мосте через реку
Задача о построении отрезка с заданной серединой
Задача о 2-х касающихся окружностях
Задача о восстановлении квадрата
Задача о построении равностороннего треугольника
Задача о точках Торричелли и Ферма
Задача Наполеона Бонапарта
Задача о двух ромбах
(придумана автором)
Задача Герона Александрийского
Задача Герона Александрийского (бильярдная формулировка )
Задача о треугольнике наименьшего периметра
Задача о треугольнике наименьшего периметра (бильярдный аналог)
Задача Фаньяно
Задача Фаньяно (бильярдный аналог)
Задача о нахождении бильярдной траектории
Задача о замкнутой бильярдной траектории (придумана автором)

Процесс
Решение задачи
Интерактивные уроки
«Движение плоскости вместо вычислений»
Задача о мосте через реку
Задача о мосте через реку
Города A и B расположены на разных берегах реки.
В каком месте нужно построить мост через реку, чтобы путь от города A до города B был кратчайшим?
Решение
Ответ:
Кратчайшим путем, ведущим из города A в город B, является путь, проходящий через мост DC :
А → D → С → B
Назад к списку задач
Завершить Х
К следующей задаче

Процесс
Решение задачи
Интерактивные уроки
«Движение плоскости вместо вычислений»
Задача о построении отрезка с заданной серединой
Задача о постр. отрезка с заданной серединой
Дан острый угол ABC с вершиной B и точка D внутри него.
Найти на сторонах угла такие точки E и F, чтобы точка D была серединой отрезка EF.
Решение
Ответ:
Точка D середина отрезка EF
Назад к списку задач
Завершить Х
К следующей задаче

Процесс
Решение задачи
Интерактивные уроки
«Движение плоскости вместо вычислений»
Задача о двух касающихся окружностях
Задача о двух касающихся окружностях
Две окружности с центрами O1 и O2 и равными радиусами R касаются внешним образом в точке A.
Точки B и C лежат на разных окружностях, причем хорды BA и CA перпендикулярны. Доказать, что расстояние BC равно 2R.
Решение
Ответ:
Доказано
Назад к списку задач
Завершить Х
К следующей задаче

Процесс
Решение задачи
Интерактивные уроки
«Движение плоскости вместо вычислений»
Задача о восстановлении квадрата
Задача о восстановлении квадрата
Восстановить квадрат ABCD, если известен его центр O и точки F и E, расположенные на сторонах AB и BC соответственно.
Решение
Ответ:
Квадрат восстановлен.
Назад к списку задач
Завершить Х
К следующей задаче

Процесс
Решение задачи
Интерактивные уроки
«Движение плоскости вместо вычислений»
Задача о построении равностороннего треугольника
Задача о равностороннем треугольнике
Дан угол ABC с вершиной B и точка D внутри него.
На сторонах угла AB и BC найти точки E и F так, чтобы треугольник EFD был равносторонним.
Решение
Ответ:
Равносторонние треугольники построены
Назад к списку задач
Завершить Х
К следующей задаче

Процесс
Определение точки Ферма
(AD + BD + CD – мин.)
Процесс
Определение точки Торричелли
Интерактивные уроки
«Движение плоскости вместо вычислений»
Задача о точках Торричелли и Ферма
Задача о точках Торричелли и Ферма
Дан остроугольный треугольник.
Точка Ферма – это точка внутри треугольника, сумма расстояний от которой до вершин треугольника минимальна.
Точка Торричелли - это точка внутри треугольника, из которой каждая сторона треугольника видна под углом в 1200.
Доказать, что эти точки совпадают и построить точку Торричелли-Ферма.
Процесс
Решение задачи
Ответ:
Точка Ферма-Торричелли построена.
Доказано
Назад к списку задач
Завершить Х
К следующей задаче
Решение

Процесс
Решение задачи
Интерактивные уроки
«Движение плоскости вместо вычислений»
Задача Наполеона Бонапарта
Задача
Наполеона
На сторонах произвольного треугольника как на основаниях вне треугольника построены равносторонние треугольники.
Доказать, что центры этих равносторонних треугольников также являются вершинами равностороннего треугольника.
Решение
Ответ:
Доказано
Назад к списку задач
Завершить Х
К следующей задаче

Процесс
Решение задачи
Интерактивные уроки
«Движение плоскости вместо вычислений»
Задача о двух ромбах (придумана автором проекта)
Задача о двух ромбах
У ромбов ABCD и MNPK вершины A и M совпадают, а углы при вершинах A и M равны. При обходе по направлению А→В→С→D ромб ABCD остается справа, так же и при обходе по направлению M→N→P→K ромб MNPK остается справа.
Доказать, что отрезки BN и DK равны, а угол между ними равен углу BAD
Решение
Ответ:
Отрезки BN и DK равны, а угол между ними равен углу BAD.
Назад к списку задач
Завершить Х
К следующей задаче

Процесс
Решение задачи
Интерактивные уроки
«Движение плоскости вместо вычислений»
Задача Герона Александрийского
Задача Герона Александрийского
Города A и B расположены на одном берегу реки MN. Курьер должен доставить донесение из города A в город B, напоив в реке коня.
По какому пути нужно двигаться курьеру, чтобы пройденное им расстояние было наименьшим?
Решение
Ответ:
Самый короткий путь для курьера: А → D → B
Назад к списку задач
Завершить Х
К следующей задаче

Процесс
Решение задачи
Интерактивные уроки
«Движение плоскости вместо вычислений»
Бильярдная формулировка задачи Герона Александрийского
Задача Герона Александрийского
(бильярдная фор-ка)
Задачу Герона можно переформулировать в виде задачи о траектории бильярдного шара, которая состоит в следующем:
На бильярдном столе с краем MN лежат шары A и B.
Как игрок должен направить шар A, чтобы, отразившись от края MN, шар A попал в шар B?
Решение
Ответ:
Шар должен быть направлен в точку D и пройдет путь: А → D → B
Назад к списку задач
Завершить Х
К следующей задаче

Процесс
Решение задачи
Интерактивные уроки
«Движение плоскости вместо вычислений»
З-ча о треуг. наименьш. периметра с вершинами на сторонах угла
Задача о треуг. наименьшего периметра
Дан острый угол ABC и точка D внутри него.
На сторонах угла найти точки E и F так, чтобы периметр треугольника DEF был наименьшим
Решение
Ответ:
Полученный треугольник DEF и обладает наименьшим периметром.
Назад к списку задач
Завершить Х
К следующей задаче

Процесс
Решение задачи
Интерактивные уроки
«Движение плоскости вместо вычислений»
Бильярд. фор-ка з. о треуг. наим. периметра с верш. на стор. угла
З-ча о треуг. наим. периметра (бильярдная фор-ка)
Рассмотрим лучи AB и BC как края бильярдного стола ABC без луз, на котором лежит шар D.
Если игрок направит шар D в точку F, то, отразившись, в соответствии с физическим законом отражения, от края BC в точке F, шар, пройдя по отрезку FE, отразится от края AB в точке E и вернется в точку D по отрезку ED.
Решение
Ответ:
Треугольник DEF имеет наименьший периметр.
Назад к списку задач
Завершить Х
К следующей задаче

Процесс
Решение задачи
Интерактивные уроки
«Движение плоскости вместо вычислений»
Задача Фаньяно
Задача
Фаньяно
На сторонах остроугольного треугольника ABC найти такие точки A1, B1 и C1, чтобы периметр треугольника A1B1C1 был наименьшим.
Решение
Ответ:
Точки A1, B1 и C1 найдены.
Назад к списку задач
Завершить Х
К следующей задаче

Процесс
Решение задачи
Интерактивные уроки
«Движение плоскости вместо вычислений»
Бильярдный аналог задачи Фаньяно
Задача Фаньяно
(бильярдный аналог)
Рассмотрим треугольник ABC как бильярдный стол без луз. Если игрок пошлет, например, шар из точки A1 в точку B1, то, отразившись от края стола AC в точке B1, шар попадет в точку C1. После этого шар, отразившись от края стола AB в точке C1, возвратится в точку A1.
В противоположном направлении ситуация будет аналогичной.
Решение
Ответ:
Решение задачи Фаньяно завершено
Назад к списку задач
Завершить Х
К следующей задаче

Процесс
Решение задачи
Интерактивные уроки
«Движение плоскости вместо вычислений»
Задача о нахождении бильярдной траектории
Задача о нахождении бильярд. траект-и
На бильярдном столе в форме прямоугольника ABCD без луз лежат шары M и N.
Игрок бьет кием по шару M. После этого шар M ударяется в сторону AB, затем в сторону BC, потом в сторону CD и попадает в шар N.
Найти путь шара M.
Решение
Ответ:
Путь шара отмечен на рисунке красным цветом.
Назад к списку задач
Завершить Х
К следующей задаче

Процесс
Решение задачи
Интерактивные уроки
«Движение плоскости вместо вычислений»
Задача о замкнутой бильярдной траектории (придумана автором)
Задача о замкн. бильярд. траектории
Бильярдный стол без луз имеет форму квадрата ACDF, на сторонах AC и FD которого как на диаметрах вне квадрата построены полукруги.
Найти какую-нибудь замкнутую траекторию движения бильярдного шара, имеющую 6 звеньев.
Решение
Ответ:
Траекторией шара будет замкнутая ломаная линия, отмеченная на красным цветом и состоящая из 6 звеньев
Назад к списку задач
Завершить Х
До свидания!