предел_числ_посл

Содержание

Слайд 2

Понятие числовой последовательности

Рассмотрим ряд натуральных чисел N:
1,  2,  3, …,  n

Понятие числовой последовательности Рассмотрим ряд натуральных чисел N: 1, 2, 3, …,
– 1,  n, п + 1, …
Функцию y=f(x), x∈N называют функцией натурального аргумента или числовой последовательностью и обозначают y=f(n) или  y1,  y2, …, yn, … или {уn}.
Величина уn называется общим членом последовательности.

Обычно числовая последовательность задаётся некоторой формулой уn=f(n), позволяющей найти любой член последовательности по его номеру n; эта формула называется формулой общего члена.

Слайд 3

Примеры числовых последовательностей

1,  2,  3,  4,  5, … –  ряд натуральных чисел;
2,  4, 

Примеры числовых последовательностей 1, 2, 3, 4, 5, … – ряд натуральных
6,  8,  10, … – ряд чётных чисел;
1, 4, 9, 16, 25, … – ряд квадратов натуральных чисел;
5, 10, 15, 20, … – ряд натуральных чисел, кратных 5;
1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, ... – ряд вида 1/n, где n∈N;
и т.д.

Слайд 4

Способы задания последовательностей

Перечислением членов последовательности (словесно).
Заданием аналитической формулы.
Заданием рекуррентной формулы.

Примеры:

Последовательность простых

Способы задания последовательностей Перечислением членов последовательности (словесно). Заданием аналитической формулы. Заданием рекуррентной
чисел:
2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29; …
Арифметическая прогрессия:
an = a1 + (n – 1)d
Геометрическая прогрессия:
bn + 1 = bn ∙ q

Слайд 5

Ограниченность числовой последовательности

Последовательность {уn} называют ограниченной сверху, если все ее члены не

Ограниченность числовой последовательности Последовательность {уn} называют ограниченной сверху, если все ее члены
больше некоторого числа.

Пример: -1, -4, -9, -16, …, -п2, … - ограничена сверху 0.

Последовательность {уn} ограниченна сверху, если существует число M такое, что для любого п выполняется неравенство
уп ≤ М
Число М называют верхней границей последовательности.

Слайд 6

Ограниченность числовой последовательности

Последовательность {уn} называют ограниченной снизу, если все ее члены не

Ограниченность числовой последовательности Последовательность {уn} называют ограниченной снизу, если все ее члены
меньше некоторого числа.

Пример: 1, 4, 9, 16, …, п2, … - ограничена снизу 1.

Последовательность {уn} ограниченна снизу, если существует число m такое, что для любого п выполняется неравенство:
уп ≥ m
Число m называют нижней границей последовательности.

Если последовательность ограничена и сверху и снизу, то ее называют ограниченной последовательностью.

Слайд 7

Возрастание и убывание числовой последовательности

Последовательность {уn} называют возрастающей последовательностью, если каждый ее

Возрастание и убывание числовой последовательности Последовательность {уn} называют возрастающей последовательностью, если каждый
член больше предыдущего: у1 < y2 < y3 < y4 < … < yn < yn+1 < …

Пример: 1, 3, 5, 7, 9, 2п-1, … - возрастающая последовательность.

Последовательность {уn} называют убывающей последовательностью, если каждый ее член меньше предыдущего: у1 > y2 > y3 > y4 > … > yn > yn+1 > …

Пример: 1, 1/3, 1/5, 1/7, 1/(2п–1), … - убывающая последовательность.

Возрастающие и убывающие последовательности называют монотонными

Слайд 8

Предел числовой последовательности

Рассмотрим числовую последовательность, общий член которой приближается к некоторому

Предел числовой последовательности Рассмотрим числовую последовательность, общий член которой приближается к некоторому
числу a при увеличении порядкового номера n. В этом случае говорят, что числовая последовательность имеет предел.

Число а называется пределом числовой последовательности {уn}:
если для любого ε > 0 найдется такое число
N = N(ε), зависящее от ε, что │un – a│< ε при n > N

Слайд 9

Предел числовой последовательности

Это определение означает, что a есть предел числовой последовательности, если её

Предел числовой последовательности Это определение означает, что a есть предел числовой последовательности,
общий член неограниченно приближается к a  при возрастании  n.
Геометрически это значит, что для любого ε>0 можно найти такое число N, что начиная с n>N все члены последовательности расположены внутри интервала (a – ε, a + ε).

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся; в противном случае – расходящейся.

Слайд 10

Рассмотрим последовательность:

– гармонический ряд

Если │q│< 1, то

Если │q│> 1, то последовательность

Рассмотрим последовательность: – гармонический ряд Если │q│ Если │q│> 1, то последовательность
уn = q n
расходится

Слайд 11

Основные теоремы о пределах

Теорема 1. Функция не может иметь более одного

Основные теоремы о пределах Теорема 1. Функция не может иметь более одного
предела.
Теорема 2. Предел алгебраической суммы конечного числа функций равен такой же сумме пределов этих функций, т.е.
Теорема 3. Предел произведения конечного числа функций равен произведению пределов этих функций, т.е.
Следствие. 1. Постоянный множитель можно выносить за знак предела, т.е.

Слайд 12

Основные теоремы о пределах

Следствие 2. Предел степени равен степени предела, т.е.
Теорема 4.

Основные теоремы о пределах Следствие 2. Предел степени равен степени предела, т.е.
Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций, при условии, что предел делителя не равен нулю, т.е.

Слайд 13

Если m∈N, k∈R, то

Если m∈N, k∈R, то

Слайд 14

Примеры:

Примеры:

Слайд 15

Предел функции на бесконечности

В этом случае прямая у=b является горизонтальной асимптотой

Предел функции на бесконечности В этом случае прямая у=b является горизонтальной асимптотой
графика функции y=f(x).

х

у

y = f(x)

0

у = b

Будем говорить, что функция f(x) стремится к пределу b при x→∞, если для произвольного малого положительного числа ε можно указать такое положительное число M, что для всех значений x, удовлетворяющих неравенству |x|>M, выполняется неравенство |f(x) - b| < ε.

Слайд 16

Предел функции в точке

Функция y=f(x) стремится к пределу b при x→a, если

Предел функции в точке Функция y=f(x) стремится к пределу b при x→a,
для каждого положительного числа ε, как бы мало оно не было, можно указать такое положительное число δ, что при всех x≠a из области определения функции, удовлетворяющих неравенству |x - a| < δ, имеет место неравенство |f(x) - b| < ε.

х

y = f(x)

0

b

у

а