Инженерно-вычислительные технологии

ЗАДАЧИ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ
• изучение последовательности действий при разработке и проведении вычислительного эксперимента: концептуальная и математическая постановки задачи; выбор метода решения; оценка суммарной погрешности эксперимента; анализ полученных результатов и обоснование выводов о корректности постановки задачи.
• формирование умения ориентироваться в существующих системах компьютерной математики и обоснованно выбирать программные продукты для проведения математи-ческих вычислений при решении инженерных задач;
• формирование навыков работы с интегрированной средой математического паке-та MATLAB в части численных методов решения задач, визуализации результатов вычислений и визуального программирования в приложении Simulink.
Всего часов: - 108 час.
аудиторные занятия – 50 час (лекции – 18 час., лабораторные работы – 32 час.)
самостоятельная работа – 54 час.
Итоговый контроль: Зачет – 6 семестр.
Зачёт по дисциплине выставляется в случае выполнения заданий и защиты всех лабораторных работ и положительных оценок по результатам контрольных работ.

КЛАССЫ ИНЖЕНЕРНЫХ ЗАДАЧ В ОБЛАСТИ ПРОЕКТИРОВАНИЯ И ПРОИЗВОДСТВА АД
1. ЗАДАЧИ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ.
Авиационные (газотурбинные) двигатели относятся к классу тепловых двигателей, в которых рабочим телом является газ. В рабочем цикле двигателя происходят процессы: переноса массы газа, сжатия-расширения газовой среды, и т. д.
Изучением законов, которым подчиняются эти процессы занимается наука – газовая динамика.
Закон сохранения массы
Изменение массы для i -й компоненты в объеме происходит за счет втекания/вытекания этой компоненты через поверхность объема:
Закон сохранения импульса
Изменение количества движения объема газа равно сумме действующих поверхностных сил, создаваемых давлением:
Закон сохранения энергии
Поток энергии складывается из конвективного переноса энергии и работы поверхностных сил
Задачи газовой динамики обычно связаны с движением газа в канале с твердой поверхностью. Влияние поверхности на поток газа учитывается граничными условиями, которым должно удовлетворять решение основных уравнений движения.

КЛАССЫ ИНЖЕНЕРНЫХ ЗАДАЧ В ОБЛАСТИ ПРОЕКТИРОВАНИЯ И ПРОИЗВОДСТВА АД
2. ЗАДАЧИ ТЕРМОДИНАМИКИ И ТЕПЛОТЕХНИКИ.
Авиационные (газотурбинные) двигатели относятся к классу тепловых двигателей, когда полезная работа появляется в результате подвода тепла к рабочему телу.
Термодинамика - наука о закономерностях превращения энергии.
Циклы газотурбинных двигателей (ГТД) в pv - и Ts - диаграммах.
Анализ цикла ГТД с подводом теплоты при p = const и регенеративного цикла.
Определение термического КПД и методы его повышения.
Задачи организации горения в камере сгорания.
3. ЗАДАЧИ АКУСТИКИ.
Широкий спектр задач связанных с изучением волновых процессов:
распространение звуковых волн в различных материалах;
эффективность поглощения и отражения энергии волн различными материалами;
выбор способов организации систем шумоглушения.

КЛАССЫ ИНЖЕНЕРНЫХ ЗАДАЧ В ОБЛАСТИ ПРОЕКТИРОВАНИЯ И ПРОИЗВОДСТВА АД
4. ЗАДАЧИ ПРОЧНОСТИ.
Статическая, динамическая и усталостная прочность деталей двигателя (лопаток компрессоров и турбин, дисков, валов и т.п.).
Определение собственных частот и форм колебаний (модальный анализ ) деталей и узлов.
Расчет и подбор способов демпфирования колебаний.
Определение коэффициентов запаса долговечности деталей и узлов.
Анализ накопления повреждений.
Задачи повышения жаропрочности и коррозионной устойчивости материалов.
5. ЗАДАЧИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ПРОГНОЗИРОВАНИЯ РЕСУРСА.
Комплексный подход к решению задач прогнозирования ресурса.
Задачи сбора и статистической обработки данных по фактическому состоянию деталей узлов ( параметров) двигателя, с целью прогнозирования остаточного ресурса.
…

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ИНЖЕНЕРНЫХ ЗАДАЧ.
Графические
Позволяют оценивать порядок искомых величин и направление расчётных алгоритмов
Аналитические
Позволяют получать точные решения в виде математических формул. Эти методы дают наиболее полную информацию о решении задачи, и понимание физической сущности . Однако класс задач, для которого они могут использоваться, весьма ограничен.
Численные (вычислительные)
Это методы приближенного решения задач прикладной математики, основанные на реализации алгоритмов, соответствующих математическим моделям. Наука, изучающая численные методы, называется также численным анализом, или вычислительной математикой.
Численные методы, в отличие от аналитических, дают не общие, а частные решения. При этом требуется выполнить достаточное количество арифметических и логических действий над числовыми и логическими массивами.

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ИНЖЕНЕРНЫХ ЗАДАЧ.
Графические методы решения.
Рассмотрим систему линейных уравнений
Пару чисел (x,y) которая одновременно является решением и первого и второго уравнения системы, называют решением системы уравнений.
Решить систему уравнений – это значит найти все её решения, или установить, что решений нет.
Пример 1. Решить систему
Это линейные уравнения, графиком каждого из которых является прямая
Решением системы является пара чисел ( x = -1; y = 0)
Мы получили единственное решение линейной системы.
При решении возможны следующие случаи:
система имеет единственное решение - прямые пересекаются;
система не имеет решений – прямые параллельны;
система имеет бесчисленное множество решений – прямые совпадают.

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ИНЖЕНЕРНЫХ ЗАДАЧ.
Графические методы решения.
Решить систему уравнений
График первого уравнения – прямая, график второго уравнения – окружность радиусом (1) с центром в точке (0;0)
Графики пересекаются в точках А(0; 1) и В(-1; 0).
Ответ: решением системы уравнений будет пара значений
(x = 0; y =1) и (x = -1; y = 0)
Если можно построить график каждого уравнения и найти координаты точек пересе-чения, то этого метода вполне достаточно.
Но часто графический метод даёт возмож-ность найти только приближенное решение системы или ответить на вопрос о количестве решений.

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ИНЖЕНЕРНЫХ ЗАДАЧ.
Аналитические методы решения задач .
Пример 1. Решить уравнение .
Это линейное уравнение вида kx = b.
В начале рассмотрим три ветви решения, а по сути три задачи, на которые распадается исходная задача. Рекомендуется обратить особое внимание на тот логический принцип, который приводит к возникновению трех ветвей из исходного линейного уравнения.
Принцип существования трех решений обусловлен различным сочетанием k и b.
1) если a = 1 , уравнение приобретает вид 0 · x = 2 и не имеет решений;
2) если a = -1, получаем 0 · x = 0 и очевидно x- любое число;
3) если a ≠ ±1, имеем x = 1/(a-1) - единственное решение.
Ответ. Если a = 1 - решений нет; если a = -1 - решений бесконечно много;
если a ≠ ±1 - x =1/(a-1) - единственное решение.
ВЫВОД: Аналитическое решение - это решение, полученное путём математических выкладок представленное в виде формул.

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ИНЖЕНЕРНЫХ ЗАДАЧ.
Аналитические методы решения задач
Большой класс задач с параметрами связан с ситуациями, когда за счет параметра на решение уравнений и неравенств накладываются какие-либо условия. Для таких задач характерна следующая формулировка: при каких значениях параметра уравнение имеет одно решение, два, ни одного.
Пример 3. При каких значениях параметра (а) уравнение имеет единственное решение?
Возможны два случая: если (а=2), то исходное уравнение превращается в линейное, решение которого находится по иным правилам, чем решение квадратного уравнения в случае (а ≠ 2).
1) если (а = 2), то уравнение приобретает вид 3 = 0 и решений не имеет;
2) если (а ≠ 2), то искомые значения параметра – это корни уравнения D(a)=0 ,
где D(a) - дискриминант квадратного уравнения.
Эти корни имеют значения a = 2 и a = 5.
Поскольку мы установили, что при a = 2 решений нет, то окончательно получаем .
Ответ. a = 5
*

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ИНЖЕНЕРНЫХ ЗАДАЧ.
Экспериментальные методы решения.
Задачи определения предела усталостной прочности материала σ-1
Усталостная прочность (усталостная долговечность) - свойство материала не разрушаться с течением времени под действием изменяющихся рабочих нагрузок.
Задача решается только экспериментальным путем.
1. Изготавливается партия образцов по стандартной технологии, в зависимости от вида испытаний.
2. Проводятся испытания образцов при циклическом нагружении.(растяжение, растяжение-сжатие, консольный изгиб и т. п)

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ИНЖЕНЕРНЫХ ЗАДАЧ.
Экспериментальные методы решения.
3. Результаты испытаний наносятся на график.
Предел выносливости σ-1 определяется как максимальные напряжения, при которых не сломались «6» образцов на выбранной базе циклов нагружения N.
В дальнейшем предел усталостной выносливости деталей, изго-товленных из испытанных материалов определяется расчетным путем.
Подобные испытания могут производиться и на натурных деталях с целью оценки влияния на прочность технологии изготовления или верификации математической модели расчета.

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ИНЖЕНЕРНЫХ ЗАДАЧ.
Численные методы решения.
Численные методы - это методы приближенного решения задач прикладной математики, основанные на реализации алгоритмов, соответствующих математическим моделям.
Наука, изучающая численные методы, называется численным анализом, или вычислительной математикой.
Численные методы, в отличие от аналитических, дают не общие, а частные решения. При этом требуется выполнить достаточное количество арифметических и логических действий над числовыми и логическими массивами.
В численном анализе используются два класса численных методов:
1. Прямые методы, позволяющие найти решение за определенное число операций.
2. Итерационные методы, основанные на использовании повторяющегося (циклического) процесса и позволяющие получить решение в результате конечного числа последовательных приближений. Операции, входящие в повторяющийся процесс, составляют итерацию.
Решения, получаемые численными методами, в силу их приближенности содержат некоторые погрешности. Поэтому при решении задач численными методами требуется производить оценку погрешности полученного результата.

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ИНЖЕНЕРНЫХ ЗАДАЧ.
Численные методы решения.
Задача: Отделить (найти) один корень уравнения ex+x+2=0 и вычислить его на полученном отрезке [a;b] с точностью ε < 0,0001 методом простой итерации.
Решение:
Преобразуем уравнение к виду: ex = - x -2 и построим графики функций y1 = ex, y2 = -x -2
Графики пересекаются на интервале [-3;-2], т.е. корень будем искать именно на этом промежутке.
Выберем первое приближение x0 = -2 имея в виду
Ответ: с требуемой точностью x = -2,12003

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ИНЖЕНЕРНЫХ ЗАДАЧ.
ВЫВОДЫ:
1. Аналитические методы исследования развиваются давно, но несмотря на это существует ограниченное число задач, которые могут быть решены аналитически. Круг решаемых задач значительно расширился в связи с применением электронных вычислительных машин (ЭВМ) и развитием численных методов исследования, которые позволяют получить решение с заданной степенью точности и обладают большей универсальностью, чем аналитические методы.
2. Аналитические решения, получаемые обычно для упрощенного варианта задачи, позволяют понять физическую сущность явления и его зависимость от характерных параметров, а кроме того, выполняют роль тестов при отработке численного алгоритма на ЭВМ.
3. Точность аналитических и численных методов проверяется путем сопоставления решений с результатами экспериментов. Таким образом, численные, аналитические и экспериментальные методы должны разумным образом сочетаться и дополнять друг друга.