Преобразование графиков функции

Содержание

Слайд 2

Цели:

1) Систематизировать приемы построения графиков.
2) Показать их применение при построении:
а) графиков сложных функций;
б) при

Цели: 1) Систематизировать приемы построения графиков. 2) Показать их применение при построении:
решении заданий ЕГЭ из части C.

Слайд 3

Рассмотрим основные правила преобразования графиков на примерах элементарных функций

Рассмотрим основные правила преобразования графиков на примерах элементарных функций

Слайд 4

1) Преобразование симметрии относительно оси x f(x)?-f(x)

График функции y=-f(x) получается преобразованием симметрии графика

1) Преобразование симметрии относительно оси x f(x)?-f(x) График функции y=-f(x) получается преобразованием
функции y=f(x) относительно оси x.
Замечание. Точки пересечения графика с осью x остаются неизменными.

Слайд 5

2) Преобразование симметрии относительно оси y f(x)?f(-x)

График функции y=f(-x) получается преобразованием симметрии графика

2) Преобразование симметрии относительно оси y f(x)?f(-x) График функции y=f(-x) получается преобразованием
функции y=f(x) относительно оси y.
Замечание. Точка пересечения графика с осью y остается неизменной.

Замечание 1. График четной функции не изменяется при отражении относительно оси y, поскольку для четной функции f(-x)=f(x). Пример: (-x)²=x²
Замечание 2. График нечетной функции изменяется одинаково как при отражении относительно оси x, так и при отражении относительно оси y, посольку для нечетной функции f(-x)=-f(x). Пример: sin(-x)=-sinx.

Слайд 6

3) Параллельный перенос вдоль оси x f(x)?f(x-a)

График функции y=f(x-a) получается параллельным переносом

3) Параллельный перенос вдоль оси x f(x)?f(x-a) График функции y=f(x-a) получается параллельным
графика функции y=f(x) вдоль оси x на |a| вправо при a>0 и влево при a<0.

Замечание.График периодической функции с периодом T не изменяется при параллельных переносах вдоль оси x на nT, n∈Z.

Слайд 7

4) Параллельный перенос вдоль оси y f(x)?f(x)+b

График функции y=f(x)+b получается параллельным переносом

4) Параллельный перенос вдоль оси y f(x)?f(x)+b График функции y=f(x)+b получается параллельным
графика функции y=f(x) вдоль оси y на |b| вверх при b>0 и вниз при b<0.

Слайд 8

5) Сжатие и растяжение вдоль оси x f(x)?f(αx), где α>0

α>1 График функции y=а(αx)

5) Сжатие и растяжение вдоль оси x f(x)?f(αx), где α>0 α>1 График
получается сжатием графика функции y=f(x) вдоль оси x в α раз.

Замечание. Точки с пересечения графика с осью y остаются неизменными.

0<α<1 График функции y=f(αx) получается растяжением графика функции y=f(x) вдоль оси x в 1/α раз.

Слайд 9

6) Сжатие и растяжение вдоль оси y f(x)?kf(x), где k>0

k>1 График функции y=kf(x)

6) Сжатие и растяжение вдоль оси y f(x)?kf(x), где k>0 k>1 График
получается растяжением графика функции y=f(x) вдоль оси y в k раз.

0

Замечание. Точки пересечения графика с осью x остаются неизменными.

Слайд 10

7) Построение графика функции y=|f(x)|

Части графика функции y=f(x), лежащие выше оси x

7) Построение графика функции y=|f(x)| Части графика функции y=f(x), лежащие выше оси
и на оси x, остаются без изменения, а лежащие ниже оси x – симметрично отображаются относительно этой оси (вверх).
Замечание. Функция y=|f(x)| неотрицательна (ее график расположен в верхней полуплоскости).

Примеры:

Слайд 11

8) Построение графика функции y=f(|x|)

Часть графика функции y=f(x), лежащая левее оси y,

8) Построение графика функции y=f(|x|) Часть графика функции y=f(x), лежащая левее оси
удаляется, а часть, лежащая правее оси y – остается без изменения и, кроме того, симметрично отражается относительно оси y (влево). Точка графика лежащая на оси y, остается неизменной.
Замечание. Функция y=f(|x|) четная (ее график симметричен относительно оси y).

Примеры:

Слайд 12

9) Построение графика обратной функции

График функции y=g(x), обратной функции y=f(x), можно получить

9) Построение графика обратной функции График функции y=g(x), обратной функции y=f(x), можно
преобразованием симметрии графика функции y=f(x) относительно прямой y=x.
Замечание. Описанное построение производить только для функции, имеющей обратную.

Слайд 13

Построение графиков сложных функций с помощью последовательных преобразований графиков элементарных функций (на

Построение графиков сложных функций с помощью последовательных преобразований графиков элементарных функций (на примерах)
примерах)

Слайд 14

Построение графиков сложных функций с помощью последовательных преобразований графиков элементарных функций (на

Построение графиков сложных функций с помощью последовательных преобразований графиков элементарных функций (на примерах) y=|x²-6|x|+8|=||x|²-6|x|+8|=|(|x|-3) ²-1|
примерах)

y=|x²-6|x|+8|=||x|²-6|x|+8|=|(|x|-3) ²-1|

Слайд 15

Построение графиков сложных функций с помощью последовательных преобразований графиков элементарных функций (на

Построение графиков сложных функций с помощью последовательных преобразований графиков элементарных функций (на примерах)
примерах)

Слайд 16

Построение графиков сложных функций с помощью последовательных преобразований графиков элементарных функций (на

Построение графиков сложных функций с помощью последовательных преобразований графиков элементарных функций (на примерах)
примерах)

Слайд 17

Применение правил преобразования графиков при решении заданий ЕГЭ (части C).

Применение правил преобразования графиков при решении заданий ЕГЭ (части C).

Слайд 18

Решить систему уравнений:

В одной системе координат, построим графики функций: а)

График этой

Решить систему уравнений: В одной системе координат, построим графики функций: а) График
функции получается в результате построения графика
в новой системе координат x’o’y’, где O’(1;0)
б)

В системе x”o”y”, где o”(4;3) построим график y=|x|.

Слайд 19

Решить уравнение: f(g(x))+g(f(x))=32, если известно, что и

Решение: Преобразуем функцию f(x).
Так как , то
Тогда

Решить уравнение: f(g(x))+g(f(x))=32, если известно, что и Решение: Преобразуем функцию f(x). Так
g(f(x))=20.
Подставим в уравнение f(g(x))+g(f(x))=32, получим f(g(x))+20=32;
f(g(x))=12
Пусть g(x)=t, тогда f(t)=12 или

при при

или

Слайд 20

а)
График данной функции получается построением графика
В системе x’o’y’, где o’(1;0).
б)
В

а) График данной функции получается построением графика В системе x’o’y’, где o’(1;0).
системе x”o”y”, где o”(6;4), построим график функции
Условию x<5 удовлетворяет абсцисса общей точки графиков x=2.
Ответ: 2.

Слайд 21

Вывод:
Мы видим, что правила преобразования графиков существенно упрощают построение графиков сложных функций.

Вывод: Мы видим, что правила преобразования графиков существенно упрощают построение графиков сложных

Помогают найти нетрадиционное решение сложных задач.