Презентация на тему Обратные тригонометрические функции

Историческая справка
Тригонометрические функции возникли впервые в связи с исследованиями в астрономии и геометрии. Соотношения отрезков в треугольнике и окружности, являющиеся по существу тригонометрическими функциями, встречаются уже в 3 в. до н. э. в работах математиков Древней Греции – ЕвклидаТригонометрические функции возникли впервые в связи с исследованиями в астрономии и геометрии. Соотношения отрезков в треугольнике и окружности, являющиеся по существу тригонометрическими функциями, встречаются уже в 3 в. до н. э. в работах математиков Древней Греции – Евклида, Архимеда, Аполлония Пергского и других.
В последующий период математика долгое время наиболее активно развивалась индийскими и арабсками учеными. В трудах по астрономии Ариабхаты появляется термин «ардхаджива». Позднее привилось более краткое название «джива», а при переводе математических терминов в XII в. Это слово было заменено латинским «sinus».
Принципиальное значение имело составление Птолемеем первой таблицы синусов(долгое время она называлась таблицей хорд): появилось практическое средство решения ряда прикладных задач, и в первую очередь задач астрономии.
Слово косинус –это сокращение латинского выражения «complementy sinus»(синус).
Тангенсы возникли в связи с решением задачи об определении длины тени.Тангенс (а также котангенс, секанс и косеканс) введен в X веке Абу-л-Вафой, который составил и первые таблицы для нахождения тангенсов и котангенсов. Однако эти открытия долгое время оставались неизвестными европейским ученым, и тангенсы были заново открыты в XIV в. Т. Бравердином, а позже астрономом Региомонтаном.
Первым автором, который использовал специальные символы для обратных тригонометрических функций был, Бернулли. В 1729 и в1736 годах он писал as и at соответственно вместо arcsin и arctg.Современные обозначения arcsin и arctg появляются в 1772 г. в работах венского математика Шерфера известного французского ученого Лагранжа.Приставка «arc» происходит от латинского «arcus»(лук, дуга), что вполне согласуется со смыслом понятия: arcsin x, например,- это угол (а можно сказать и дуга) синус которого равен x.

Для тригонометрических функций можно определить обратные функции (круговые функции, аркфункции). Они обозначаются соответственно , , , .
К обратным тригонометрическим функциям обычно относят шесть функций:
аркси́нус (обозначение: arcsin)
аркко́синус (обозначение: arccos)
аркта́нгенс (обозначение: arctg; в иностранной литературе arctan)
арккота́нгенс (обозначение: arcctg; в иностранной литературе arccot или arccotan)
арксе́канс (обозначение: arcsec)
арккосе́канс (обозначение: arccosec; в иностранной литературе arccsc)

Почему можно определить обратную тригонометрическую функцию.
Теорема о корне: Пусть функция f возрастает (или убывает) на промежутке I, число a – любое из значений, принимаемых f на этом промежутке. Тогда уравнение F(x)=a имеет единственный корень в промежутке I.
На промежутке функция монотонна, возрастает, т.е.
все значения от -1 до 1 принимает ровно один раз, поэтому можно определить обратную функцию - arcsin x.
На промежутке функция монотонна, убывает, т.е.
принимает все значения от -1 до 1 ровно один раз, поэтому можно определить обратную тригонометрическую функцию.
На интервале функция монотонна, возрастает и принимает все значения из R ровно один раз, поэтому можно определить обратную тригонометрическую функцию.
На интервале функция монотонна, убывает , принимает все значения из R ровно один раз, поэтому мы можем определить обратную тригонометрическую функцию.

Арксинус
Арксинус -угол из промежутка синус которого равен а.
Если , то
Функция y = arcsinx непрерывна и ограничена на всей своей числовой прямой. Функция y = arcsinx является строго возрастающей.
--функция нечетная
Таким образом, arcsina, (arctga) - угол первой четверти, если a - положительно, и угол четвертой четверти, если a - отрицательно.
,

Арккосинус
Арккосинус -угол из промежутка
, косинус которого равен а.
Если , то
Функция y = arccosx непрерывна и ограничена на всей своей числовой прямой.
Функция y = arccosx является строго убывающей.
arccosa (arctga) - угол первой четверти, если a - положительно, и угол второй четверти, если a - отрицательно.

Арктангенс
Арктангенс -угол из интервала тангенс которого равен а.
- нечётная функция
Функций непрерывна и ограничена на всей своей числовой прямой.
Функция является строго возрастающей.
,

Арккотангенс
Арккотангенс -угол из интервала , котангенс
которого равен а.
Функция непрерывна и ограничена на всей своей
числовой прямой.
Функция является строго убывающей.

Преобразований сумм обратных тригонометрических функций
На промежутке функция возрастает, т.е. каждое свое значение
принимает ровно один раз, т.е. если на промежутке .
;
Аналогично:

Уравнения и неравенства, левая и правая части которых являются одноименными обратными тригонометрическими функциями
Решение уравнений и неравенств, левая и правая части которых представляют собой одноименные обратные тригонометрические функции различных аргументов, основывается, прежде всего, на таком свойстве этих функций, как монотонность( функции y = arcsin t и y = arctg t монотонно возрастают, а функции y = arccos t и y = arcctg t монотонно убывают на своих областях определения). Поэтому справедливы следующие равносильные переходы.
I
Замечание. Какой из двух равносильных систем пользоваться при решении уравнений 1а), зависит от того, какое неравенство проще: | f(x) | £ 1 (тогда используем первую систему), или | g(x) | £ 1 (в этом случае используем вторую систему).

Примеры
Пример 1. Решить уравнение
Решение. Уравнение равносильно системе:
Замечание. Решать неравенство, входящее в систему не обязательно. Достаточно проверить, удовлетворяют ли неравенству найденные корни уравнения.

Пример 2. Решить неравенство 3arcsin 2x < 1.
Решение.

II
Замечание. Какой из двух равносильных систем пользоваться при решении уравнений 2а), зависит от того, какое неравенство проще: | f(x) | £ 1 (тогда используем первую систему), или | g(x) | £ 1 (в этом случае используем вторую систему).

Пример 3. Решить неравенство
Решение.
Ответ: {– 2}.

Пример 4. Решить уравнение
Решение. Так как , то имеет место следующая цепочка равносильных преобразований:

III
а) arctg f(x) = arctg g(x) f(x) = g(x);
б) acrtg f(x) ≤ arctg g(x) f(x) ≤ g(x).
а) arcctg f(x) = arcctg g(x) f(x) = g(x);
б) arcctg f(x) ≤ arcctg g(x) f(x) ≥ g(x).
IV

Пример 5. Решить неравенство
Решение. Неравенство равносильно следующему:

Уравнения и неравенства, левая и правая части которых являются разноименными обратными тригонометрическими функциями
При решении уравнений и неравенств, левая и правая части которых являются разноименными обратными тригонометрическими функциями, пользуются известными тригонометрическими тождествами. Рассуждения здесь могут быть примерно следующими. Пусть требуется решить уравнение arcsin f(x) = arccos g(x). Предположим, что x0 – решение этого уравнения.
Обозначим arcsin f(x0) = arccos g(x0) через a.
Тогда sin a = f(x0), cos a = g(x0),
откуда
Итак, arcsin f(x) = arccos g(x) (1)

Рассуждая аналогично, можно получить следующие переходы:
Замечание. Корнем каждого из уравнений (1)–(4) может быть только такое число x0, для которого
и .
В противном случае множество значений левой и правой частей уравнения не пересекаются.

Пример 6. Решить уравнение
Решение.
Корень является посторонним.
Ответ: {1}.
Примеры

Пример 7. Решить уравнение
Решение.
Корень x = – 2 является посторонним.
Ответ:

Пример 8. Решить уравнение arctg (2sin x) = arcctg (cos x).
Решение.
Корни вида являются посторонними.
Ответ:

При решении неравенств, левая и правая части которых представляют собой разноименные обратные тригонометрические функции, целесообразно использовать метод интервалов, а в некоторых случаях учитывать свойства монотонных функций.
Пример 9. Решить неравенство
Решение. Рассмотрим функцию
и решим неравенство f(x) ≤ 0 методом интервалов.
1) Найдем D(f). Для этого решим систему
2) Найдем нули f(x). Для этого решим уравнение
Корень x = – 2 является посторонним

3) Решим неравенство f(x) ≤ 0 методом интервалов.
Замечание 4. Заметим, что найдя корень уравнения
можно было не обращаться к методу интервалов, а воспользоваться тем, что функция
является монотонно возрастающей, а функция
монотонно убывающей на отрезке . Поэтому решением исходного неравенства является промежуток [– 2; 1]. Следует, однако, понимать, что метод интервалов является более универсальным, – ведь его можно применять и в тех случаях, когда использование свойств монотонных функций не приводит к искомому результату.

При решении уравнений и неравенств данного типа, содержащих параметры, становится актуальным вопрос о равносильности преобразований. Чтобы преобразования (1)–(4) сделать равносильными, следует учесть естественные ограничения, связанные с областями определения обратных тригонометрических функций и множествами их значений (см. замечание 3). Так, например,

Замена переменной
Некоторые уравнения и неравенства, содержащие обратные тригонометрические функции, можно свести к алгебраическим, сделав соответствующую замену переменной. При этом следует помнить о естественных ограничениях на вводимую переменную, связанных с ограниченностью обратных тригонометрических функций.
Пример 10. Решить уравнение
Решение. Обозначим
После преобразований получим уравнение
Поскольку
откуда
Ответ:

Пример 11.
Решить неравенство
Решение. Пусть arccos x = t, 0 ≤ t ≤ π. Тогда
Поскольку
откуда
Ответ: [– 1; cos 2] И [cos 1; 1].
Иногда свести уравнение или неравенство к алгебраическому можно с помощью тождества

Пример 12.
Решить уравнение
Решение. Данное уравнение равносильно следующему:
Пусть arcsin x = t,
Тогда

IV. Использование свойств монотонности и ограниченности обратных тригонометрических функций
Решение некоторых уравнений и неравенств, содержащих обратные тригонометрические функции, основывается исключительно на таких свойствах этих функций, как монотонность и ограниченность. При этом используются следующие теоремы.
Теорема 1. Если функция y = f(x) монотонна, то уравнение f(x) = c (c = const) имеет не более одного решения.
Теорема 2. Если функция y = f(x) монотонно возрастает, а функция y = g(x) монотонно убывает, то уравнение f(x) = g(x) имеет не более одного решения.
Теорема 3. Если то на множестве X уравнение f(x) = g(x) равносильно
системе

Пример 13. Решить уравнение 2arcsin 2x = 3arccos x.
Решение. Функция y = 2arcsin 2x является монотонно возрастающей, а функция y = 3arccos x – монотонно убывающей. Число x = 0,5 является, очевидно, корнем данного уравнения. В силу теоремы 2 этот корень – единственный.
Ответ: {0,5}.
Пример 14. Решить уравнение
Решение. Пусть Тогда уравнение примет вид
Функции являются монотонно возрастающими.
Поэтому функция также является монотонно возрастающей. В силу теоремы 1 уравнение
имеет не более одного корня. Очевидно, что t = 0 является корнем этого уравнения. Поэтому
Ответ: {– 1; 0}.

Пример 15. Решить неравенство
Решение.
Левая часть неравенства представляет собой монотонно
убывающую на отрезке функцию
Уравнение в силу теоремы 1 имеет не более одного корня. Очевидно, что – корень этого уравнения.
Поэтому решением неравенства
является отрезок
Ответ:

Пример 16. Решить уравнение
arcsin (x(x + y)) + arcsin (y(x + y)) = .
Решение. Поскольку arcsin
то левая часть уравнения не превосходит Знак равенства возможен, лишь если каждое слагаемое левой части равно Таким образом, уравнение равносильно системе:
Решение последней системы не представляет труда.

Уравнения и неравенства с параметрами.
Пример 1. Решить уравнение с параметром a:
Решение. Уравнение равносильно уравнению
Рассмотрим два случая:
1) a = 0. В этом случае система примет вид:
2) a ≠ 0. В этом случае уравнение системы является квадратным. Его корни:
Так как | x | ≤ 1, то
Если a = – 1, то Если то уравнение имеет два корня.
Ответ:
при при a = – 1 и a = 0 x = 1;
при прочих a решений нет.

Пример 2. Решить неравенство с параметром a:
Решение. Неравенство равносильно системе
Решать последнюю систему можно графо-аналитическим методом, учитывая то, что
при a > первое неравенство системы равносильно неравенству x ≥ 1,
при a < – неравенству x ≥ 1,
при a = решением первого неравенства является любое действительное число.
Множество всех точек (x; a) плоскости Oxa, удовлетворяющих системе, показано на рис. 1 штриховкой.
Ответ:
при | a | > решений нет;
при a =– x = 1;

Пример 3. Решить уравнение с параметром a:
arcctg (x – 2a) = arctg (2x – a).
Решение. Данное уравнение равносильно системе
Графиком квадратного трехчлена
является парабола, ветви которой направлены вверх. Поскольку f(2a) = – 1 < 0, то
при любом a уравнение f(x) = 0 имеет ровно 2 корня, между которыми и заключено число 2a.
Поэтому только больший корень f(x) удовлетворяет условию x > 2a.
Это корень
Ответ: при любом a