Презентация на тему РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Содержание

Слайд 2

В данной презентации достаточно полно
изложена теория решения различных видов
рациональных уравнений,
за

В данной презентации достаточно полно изложена теория решения различных видов рациональных уравнений,
исключением линейных и квадратных
уравнений, а также общей теории
решения уравнений 3-й и 4-й степеней.
Нет здесь и примеров, решаемых
с помощью теоремы Безу.
Каждый вид уравнения сопровождается
решением соответствующего примера.
Данные материалы могут быть использованы
частично на уроках алгебры
в обычных классах,
но в большей мере пригодятся
для изучения этой темы
в классах с углубленным изучением
математики.

Слайд 5

Способ подстановки

При решении некоторых целых рациональных уравнений есть смысл ввести новую переменную

Способ подстановки При решении некоторых целых рациональных уравнений есть смысл ввести новую
величину, обозначив некоторое рациональное выражение новой буквой.
Например, в уравнении ,
где Р(х) – многочлен, удобно ввести новую
переменную y=Р(х), решить полученное
квадратное уравнение
относительно y и, наконец, решить
уравнение Р(х)= yо, где yо – корень
уравнения

Обратно
в меню

Пример

Слайд 6

Пример

Решите уравнение
Решение. Введем новую переменную. Пусть
Тогда получим уравнение
Находим корень у

Пример Решите уравнение Решение. Введем новую переменную. Пусть Тогда получим уравнение Находим
= 1 и делаем обратную подстановку.
Ответ: 2; 3.

Обратно
в меню

Слайд 7

Распадающееся уравнение

Рациональное уравнение называется распадающимся, если его можно привести к виду

Распадающееся уравнение Рациональное уравнение называется распадающимся, если его можно привести к виду
, где – рациональные выражения с переменной х.
Для решения воспользуемся равносильным переходом
Применяемые приемы разложения на множители:
- вынесение общего множителя за скобки;
- способ группировки;
-формулы сокращенного умножения.

Обратно
в меню

Пример

Слайд 8

Пример

Решите уравнение
Решение. Разложим левую часть уравнения на множители:
Воспользуемся равносильным переходом:
Ответ:-2;0;1;2.

Обратно
в

Пример Решите уравнение Решение. Разложим левую часть уравнения на множители: Воспользуемся равносильным
меню

Слайд 9

Однородное уравнение 2-го порядка

При решении уравнения надо проверить две ситуации:
1)

Однородное уравнение 2-го порядка При решении уравнения надо проверить две ситуации: 1)
т.е. корнями заданного уравнения
являются решения этой системы.
2) Если Q(x) ≠ 0, то после деления заданного уравнения на Q2(x) получим уравнение
которое подстановкой сводится
к квадратному уравнению
В ответ включают числа, полученные
при рассмотрении обеих ситуаций.

Обратно
в меню

Пример

Слайд 10

Пример

Решить уравнение
(x2 – 2х)2 – (x2 – 2х)(x2 –

Пример Решить уравнение (x2 – 2х)2 – (x2 – 2х)(x2 – х
х – 2) – 2(x2 – х – 2)2 = 0.
Решение. Возможны две ситуации.
Рассмотрим первую:

Обратно
в меню

Найден первый корень уравнения х=2.

Слайд 11

Продолжение решения

Рассмотрим вторую ситуацию: разделим почленно заданное уравнение на (x2 –

Продолжение решения Рассмотрим вторую ситуацию: разделим почленно заданное уравнение на (x2 –
х – 2)2 при условии, что х ≠ -1 и х ≠ 2. Уравнение принимает вид
Обозначим и решим квадратное
уравнение t2 – t –2 = 0. Получаем t1= -1, t2= 2.
Обратная подстановка дает уравнения
откуда х = -0,5 и х = -2.
С учетом обеих ситуаций получаем
ответ: - 0,5; -2; 2.

Обратно
в меню

Слайд 12

Биквадратное уравнение

Уравнение имеет вид
aх4+bх2+c=0.
Сделаем подстановку x2 = t. Значит,

Биквадратное уравнение Уравнение имеет вид aх4+bх2+c=0. Сделаем подстановку x2 = t. Значит,
x4 = t2.
Получаем квадратное уравнение
at2+bt+c=0.
Находим значения t и, сделав обратную подстановку, находим корни исходного уравнения.
Замечание.
При решении биквадратного уравнения можно
получить от 1 до 4-х корней или же это
уравнение может совсем не иметь корней.

Обратно
в меню

Пример

Слайд 13

Пример

Решите уравнение х4–3х2–4=0.
Решение.
Сделаем подстановку x2 = t. Получаем квадратное

Пример Решите уравнение х4–3х2–4=0. Решение. Сделаем подстановку x2 = t. Получаем квадратное
уравнение
t2–3t–4=0,
корни которого t = -1 и t = 4.
Обратная замена дает два уравнения
x2 = -1 и x2 = 4, из которых первое уравнение не имеет корней, а корни второго уравнения -2 и 2.
Ответ: -2; 2.

Обратно
в меню

Слайд 14

Симметричное уравнение 3-го порядка

Уравнение имеет вид
ах3+bх2+bх+а=0.
Сгруппируем слагаемые: а(х3+1)+bх(х+1)=0.
Применим формулу суммы

Симметричное уравнение 3-го порядка Уравнение имеет вид ах3+bх2+bх+а=0. Сгруппируем слагаемые: а(х3+1)+bх(х+1)=0. Применим
кубов
а(х+1)(х2 –х+1)+bх(х+1)=0
и выполним разложение на множители
(х+1)(ах2+(b - а)х+а)=0.
Получили распадающееся уравнение. Значит,
х+1=0 или ах2+(b - а)х+а=0.
Решив эти два уравнения, найдем корни
исходного уравнения.

Обратно
в меню

Пример

Слайд 15

Пример

Решите уравнение 2х3–3х2– 3х +2=0.
Решение. Сгруппируем слагаемые парами и в каждой

Пример Решите уравнение 2х3–3х2– 3х +2=0. Решение. Сгруппируем слагаемые парами и в
паре вынесем общий множитель за скобки:
2(х3+1)–3х(х+1)=0.
Применим формулу суммы кубов и вынесем общий множитель (х+1):
2(х+1)(х2 –х+1)– 3х(х+1)=0,
(х+1)(2х2 –5х+2)=0.
Значит,
х+1=0 или 2х2 –5х+2=0.
Решив эти два уравнения, найдем корни
исходного уравнения: -1; 0,5; 2.
Ответ: -1; 0,5; 2.

Обратно
в меню

Слайд 16

Симметричное уравнение 4-го порядка

Уравнение имеет вид
ах4+bх3+сх2+bх+а=0.
Сгруппируем слагаемые и разделим обе части

Симметричное уравнение 4-го порядка Уравнение имеет вид ах4+bх3+сх2+bх+а=0. Сгруппируем слагаемые и разделим
уравнения на х2. Получаем
Сделаем подстановку , тогда
Получаем квадратное уравнение
a(t2-2)+bt+c=0.
Находим значения t и делаем обратную подстановку.

Обратно
в меню

Пример

Слайд 17

Пример

Решите уравнение
Решение. Разделим обе части уравнения на x2 ≠ 0 и,

Пример Решите уравнение Решение. Разделим обе части уравнения на x2 ≠ 0
удобно группируя, получим равносильное уравнение:
Сделаем подстановку , тогда
Получаем квадратное уравнение , корни
которого 2 и -3,5.
Обратная подстановка дает два рациональных
уравнения и
откуда и находим корни исходного уравнения.
Ответ: 1;

Обратно
в меню

Слайд 18

Возвратное уравнение

Уравнение вида
ax4 + bx3 + cx2 + dx +

Возвратное уравнение Уравнение вида ax4 + bx3 + cx2 + dx +
e = 0,
где a ≠ 0, b ≠ 0 и ,
называется возвратным уравнением четвертого порядка.
Это уравнение сводится к квадратному с
помощью подстановки

Обратно
в меню

Пример

Слайд 19

Пример

Решить уравнение
x4 + x3 - 6x2 - 2x +

Пример Решить уравнение x4 + x3 - 6x2 - 2x + 4
4 = 0.
Решение. Заметим, что и, следовательно, данное уравнение есть возвратное уравнение четвертого порядка.
Так как x = 0 не является решением уравнения, разделим на x2 и получим равносильное уравнение
Обозначим , тогда
и уравнение примет вид t2 + t - 2 = 0, корни которого t1 = -2 и t2 = 1.
Делаем обратную замену и после умножения на x ≠ 0
получаем два квадратных уравнения
x2 + 2x - 2 = 0, x2 - x - 2 = 0,
откуда и получим корни исходного уравнения.
Ответ:

Обратно
в меню

Слайд 20

Уравнения вида (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) =

Уравнения вида (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) =
m

Если a + b = c + d , то это уравнение сводится к квадратному уравнению. Действительно,
(x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab
(x + c)(x + d) = x2 + (c + d)x + cd =
= x2 + (a + b)x + cd
Обозначив x2 + (a + b)x = t, получим квадратное
уравнение
(t + ab)(t + cd) = m
Из этого уравнения найдем значения t и,
сделав обратную подстановку, закончим
решение исходного уравнения.

Обратно
в меню

Пример

Слайд 21

Пример

Решить уравнение
(x - 2)(x + 1)(x + 4)(x +

Пример Решить уравнение (x - 2)(x + 1)(x + 4)(x + 7)
7) = 19.
Решение. Заметим, что -2 + 7 = 1 + 4. Удобно группируя, получим
[(x - 2)(x + 7)]·[(x + 1)(x + 4)] = 19
или
(x2 + 5x – 14 )(x2 + 5x + 4) = 19.
Обозначим t = x2 + 5x - 14, тогда x2 + 5x + 4 = t + 18.
Уравнение примет вид
t(t + 18) = 19 или t2 + 18t - 19 = 0,
откуда t = -19 и t = 1.
Сделав обратную подстановку, получим
x2 + 5x - 14 = -19 и x2 + 5x - 14 = 1.
Окончательный ответ:

Обратно
в меню

Слайд 22

Уравнение вида (x + a)4 + (x + b)4 = c

Используя

Уравнение вида (x + a)4 + (x + b)4 = c Используя
подстановку , уравнение
можно свести к биквадратному уравнению относительно t.
Действительно, подставив в уравнение , получим
Обозначим и возведем
каждое слагаемое в 4-ю степень. После приведения
подобных получим биквадратное уравнение

Обратно
в меню

Пример

Слайд 23

Пример

Решить уравнение
(x + 3)4 + (x - 1)4 =

Пример Решить уравнение (x + 3)4 + (x - 1)4 = 82.
82.
Решение. Сделаем подстановку
Получим следующее уравнение относительно t:
(t + 2)4 + (t - 2)4 = 82
или
t4 + 8t3 + 24t2 + 32t + 16 + t4 - 8t3 + 24t2 - 32t + 16 - 82 = 0.
Откуда получим биквадратное уравнение
t4 + 24t2 - 25 = 0,
корни которого t = ± 1.
Следовательно, x + 1 = ± 1.
Значит, корни исходного уравнения
x = -2 и x = 0.
Ответ: -2;0.

Обратно
в меню

Слайд 24

Уравнение вида

Решить уравнение Р(х) = 0.
Для каждого корня уравнения Р(х) =

Уравнение вида Решить уравнение Р(х) = 0. Для каждого корня уравнения Р(х)
0
сделать проверку: удовлетворяет ли он
условию Q(х) ≠ 0 или нет. Если да, то
это — корень заданного уравнения,
а если нет, то этот корень является
посторонний для заданного уравнения
и в ответ его включать не следует.

Обратно
в меню

Пример

Слайд 25

Пример

Решите уравнение  
Решение.
Приравняем числитель дроби к нулю и

Пример Решите уравнение Решение. Приравняем числитель дроби к нулю и решим полученное
решим полученное уравнение:
Значение х = 2 не удовлетворяет условию
Следовательно, уравнение имеет один
корень х= 4.
Ответ: 4.

Обратно
в меню

Слайд 26

Уравнение вида

Подстановкой это уравнение
сводится к виду
Умножим на и решим

Уравнение вида Подстановкой это уравнение сводится к виду Умножим на и решим
полученное квадратное
уравнение относительно t.
Остается сделать обратную подстановку
где tо - корень квадратного уравнения,
и решить полученное уравнение
относительно х.

Обратно
в меню

Пример

Слайд 27

Уравнение вида

Подстановкой это уравнение
сводится к виду
Умножим на и решим

Уравнение вида Подстановкой это уравнение сводится к виду Умножим на и решим
полученное квадратное
уравнение относительно t.
Остается сделать обратную подстановку
где tо - корень квадратного уравнения,
и решить полученное уравнение
относительно х.

Обратно
в меню

Пример

Слайд 28

Пример

Решите уравнение  
Решение.
Сделаем подстановку и решим полученное

Пример Решите уравнение Решение. Сделаем подстановку и решим полученное уравнение относительно t
уравнение относительно t :
Обратная подстановка приводит к уравнению
корень которого х = -1.
Ответ: -1.

Обратно
в меню

Слайд 29

Уравнения, состоящие из суммы двух и более дробей
1-й способ
Перенести все члены

Уравнения, состоящие из суммы двух и более дробей 1-й способ Перенести все
уравнения
в одну часть.
Привести уравнение к виду и найти корни полученного уравнения.
2-й способ
Определить О.Д.З. уравнения.
Умножить обе части уравнения на общий знаменатель дробей и получить целое уравнение.
Найти корни полученного уравнения и проверить их соответствие О.Д.З.

Обратно
в меню

Пример

Слайд 30

Пример

Решите уравнение  
Решение. Найдём О.Д.З. Знаменатели дробей не могут обращаться

Пример Решите уравнение Решение. Найдём О.Д.З. Знаменатели дробей не могут обращаться в
в нуль . Значит, О.Д.З. уравнения: х ≠ 2 и х ≠ 0.
Перенесём члены из правой части уравнения в левую и приведём к общему знаменателю.
.
Приравняем числитель дроби к нулю: х2 – 6х + 8 = 0.
Находим корни квадратного уравнения: х = 4 и х = 2.
Значение х = 2 не удовлетворяет О.Д.З.
Следовательно, уравнение имеет один корень х= 4.
Ответ: 4.

Обратно
в меню

Слайд 31

Уравнения вида

Данное уравнение сводится к квадратному уравнению заменой переменной

Обратно
в

Уравнения вида Данное уравнение сводится к квадратному уравнению заменой переменной Обратно в меню Пример
меню

Пример

Слайд 32

Пример

Решить уравнение
Решение. О.Д.З. уравнения есть множество
Поскольку x =

Пример Решить уравнение Решение. О.Д.З. уравнения есть множество Поскольку x = 0
0 не является решением данного уравнения, перепишем уравнение в виде
(разделим числитель и знаменатель каждой дроби на x).
Обозначим и уравнение примет вид

Обратно
в меню

Слайд 33

Продолжение решения

О.Д.З. полученного уравнения t ≠ 5 и t ≠ -1.

Продолжение решения О.Д.З. полученного уравнения t ≠ 5 и t ≠ -1.
Решая это уравнение, приходим к квадратному уравнению
2t2 - 13t + 11 = 0,
корни которого t1 = 1 и t2 = 11/2 удовлетворяют О.Д.З..
Делаем обратную подстановку и получаем два
рациональных уравнения
решив которые находим корни заданного
уравнения.
Ответ:

Обратно
в меню

Имя файла: Презентация-на-тему-РАЦИОНАЛЬНЫЕ-УРАВНЕНИЯ-.pptx
Количество просмотров: 275
Количество скачиваний: 2