Теорема Безу. Схема Горнера

Этье́нн Безу́ (1730 – 1783) – французский математик, член Парижской академии наук
Преподавал математику в Училище гардемаринов (1763) и Королевском артиллерийском корпусе (1768).
Основные его работы относятся к алгебре (исследование систем алгебраических уравнений высших степеней, исключение неизвестных в таких системах и др.)ю
Автор шести томного «Курса математики» (1764—1769), неоднократно пере издававшегося.

Теорема Безу: Остаток от деления многочлена Р(х) на двучлен (х – а) равен Р(а)
Доказательство.
Поделим с остатком многочлен Р(х) на двучлен (х – а):
Р(х) = Q(х) (х – а) + R(х)
Т.к. степень R меньше степени (х – а), то R(х) – многочлен нулевой степени, т.е.
R(х) = R – число.
При х = а, имеем Р(а) = Q(а) (а – а) + R(а.
Р(а) = R(а). чтд

Теорема Безу: Остаток от деления многочлена Р(х) на двучлен (х – а) равен Р(а)
Следствия
Число a является корнем многочлена Р(х) тогда и только тогда, когда Р(х) делится без остатка на двучлен (х – а)
(отсюда, в частности, следует, что множество корней многочлена тождественно множеству корней соответствующего уравнения)
Свободный член многочлена делится на любой целый корень многочлена с целыми коэффициентами
(если старший коэффициент равен 1, то все рациональные корни являются и целыми)
Пусть α — целый корень приведённого многочлена A(x) с целыми коэффициентами. Тогда для любого целого k число A(k) делится на α-k
Если число а является корнем многочлена Р(х), то этот многочлен можно представить в виде произведения (х – а) Р1(х), где Р1(х) - многочлен n-1–й степени.
Приложения
Теорема Безу и следствия из неё позволяют легко находить рациональные корни уравнений с целыми (рациональными) коэффициентами.

Уильям Джордж Горнер (1786 – 1837)
Английский математик
Основные труды по теории алгебраических уравнений.
С его именем связана (1819) схема Горнера деления многочлена на двучлен .

Частный случай: уравнение четвертой степени

Решение уравнений высших степеней (деление многочлена с помощью схемы Горнера)