pril

О равенстве углов со взаимно перпендикулярными сторонами
Если ∠АВС и ∠DEF оба острые или оба тупые и АВ⊥DE, BC⊥EF, то
∠АВС =∠DEF.
Полезные факты и теоремы
Задача 1
Задача 2
Задача 5

О точках пересечения медиан, биссектрис, высот треугольника
Три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.
Три высоты треугольника пересекаются в одной точке (ортоцентр треугольника).
Три медианы треугольника пересекаются в одной точке (центроид треугольника) и делятся ею в отношении 2:1, считая от вершины.
Полезные факты и теоремы
Задача 4

Свойства средней линии трапеции
Средняя линия параллельна основаниям трапеции.
Средняя линия (и только она) делит пополам любой отрезок, заключенный между основаниями трапеции.
Средняя линия равна полусумме оснований трапеции.
Эти теоремы справедливы и для средней линии треугольника.
Полезные факты и теоремы
Задача 6

Свойство медианы
в прямоугольном треугольнике
В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине.
Если в треугольнике одна из медиан равна половине стороны, к которой она проведена, то этот треугольник прямоугольный.
Обратная теорема
Полезные факты и теоремы
Задача 5

Свойство биссектрисы
внутреннего угла треугольника
Биссектриса внутреннего угла треугольника делит сторону, к которой она проведена, на части, пропорциональные прилежащим сторонам.
Полезные факты и теоремы

Метрические соотношения
в прямоугольном треугольнике
Полезные факты и теоремы

Определение вида треугольника
по его сторонам
Пусть а, b и с – стороны треугольника, причем с - наибольшая сторона, тогда
Полезные факты и теоремы
если с² < а² + b², то
треугольник остроугольный
если с² = а² + b², то
треугольник прямоугольный
если с² > а² + b², то
треугольник тупоугольный
Задача 9

Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон:
Полезные факты и теоремы
Метрические соотношения в параллелограмме
Задача 3

Если два треугольника подобны, то любой линейный элемент (или сумма линейных элементов) одного треугольника относится к соответствующему линейному элементу (или сумме соответствующих линейных элементов) другого треугольника как соответственные стороны.
Полезные факты и теоремы
Обобщенная теорема подобия
Соответственные линейные элементы: медианы, высоты, биссектрисы, периметры, радиусы описанной и вписанной окружностей.
Задача 9

Рассмотреть эти отрезки как стороны двух треугольников и доказать, что треугольники равны.
Заменить отрезок а равным отрезком а1 , отрезок b равным отрезком b1 и доказать равенство отрезков а1 и b1.
Три пути доказательства
равенства отрезков
Рассмотреть эти отрезки как стороны одного треугольника и доказать, что треугольник равнобедренный.

Проведение прямой, параллельной или перпендикулярной одной из имеющихся.
Проведение вспомогательной биссектрисы.
Дополнительные
построения
Удвоение медианы треугольника с целью достроить треугольник до параллелограмма.
Дополнительные построения, связанные с окружностью.

Две взаимно перпендикулярные прямые пересекают стороны АВ, ВС, CD, AD квадрата ABCD в точках E, F, K, L соответственно. Докажите, что ЕК=FL.
Задача 1
Нужный факт

Две взаимно перпендикулярные прямые пересекают стороны АВ, ВС, CD, AD квадрата ABCD в точках E, F, K, L соответственно. Докажите, что ЕК=FL.
Нужный факт

Две взаимно перпендикулярные прямые пересекают стороны АВ, ВС, CD, AD квадрата ABCD в точках E, F, K, L соответственно. Докажите, что ЕК=FL.
Нужный факт

На сторонах АВ и ВС треугольника ABC вне его построены квадраты ABDE и BCKM. Докажите, что отрезок DM в два раза больше медианы BP треугольника ABC.
Задача 2
Нужный факт

На сторонах АВ и ВС треугольника ABC вне его построены квадраты ABDE и BCKM. Докажите, что отрезок DM в два раза больше медианы BP треугольника ABC.
F
Нужный факт

Стороны треугольника а, b, c. Вычислить медиану mc, проведенную к стороне с.
Задача 3
Нужный факт

Доказать, что в любом треугольнике сумма медиан меньше периметра, но больше ¾ периметра.
Задача 4
Сначала докажем, что сумма медиан больше ¾ периметра.
Затем докажем, что сумма медиан меньше периметра.
Нужный факт

Сначала докажем, что сумма медиан больше ¾ периметра.
Рассмотрим ΔАМС
Нужный факт

Рассмотрим ΔBМС:
Рассмотрим ΔABМ:

Докажем, что сумма медиан меньше периметра.
Рассмотрим ΔBСК:

Доказать, что в неравнобедренном прямоугольном треугольнике биссектриса прямого угла делит пополам угол между медианой и высотой, проведенной из той же вершины.
Задача 5
Нужный факт 2
Нужный факт 1

Доказать, что в неравнобедренном прямоугольном треугольнике биссектриса прямого угла делит пополам угол между медианой и высотой, проведенной из той же вершины.
как углы с взаимно перпендикулярными сторонами:
1.
2.
3.
Доказано.

В параллелограмме со сторонами а и b проведены биссектрисы внутренних углов. Найдите длины диагоналей четырехугольника, образованного в пересечении биссектрис.
Задача 6
Нужный факт

АЕ - биссектриса угла А,
ВР - биссектриса угла В
1.
2.
KLMN –
четырехугольник с
прямыми углами, т.е.
прямоугольник.
3.
∠АВС+∠BAD=180°
2∠АВP+2∠BAE=180°
Значит, ∠АВP+∠BAE=90°
∠ВКА=90°, т.е. биссектрисы АЕ и ВР
взаимно перпендикулярны
Докажите аналогично взаимную перпендикулярность биссектрис АЕ и QD, BP и CF, CF и QD
Вывод.

Рассмотрим ΔАВР.
4.
5.
Так как KLMN – прямоугольник, достаточно найти длину KM.
7.
KM=PD = AD-AP =a-b
АК – биссектриса и высота, значит ΔАВР – равнобедренный и АК – медиана.
6.
АВ=АP = b,
К – середина ВР.
Аналогично, М – середина QD.
КМ делит пополам отрезки BP и QD. Значит КМ - отрезок на средней линии параллелограмма, поэтому КМ||AD.
8.
KMDP – параллелограмм,

Биссектрисы углов, прилегающих к боковой стороне трапеции, пересекаются под прямым углом в точке, лежащей на средней линии трапеции.
Важный результат задачи 6

Основным методом составления уравнений в геометрических задачах является метод опорного элемента.
Он заключается в том, что один и тот же элемент (сторона, угол, площадь, радиус и т.д.) выражается через известные и неизвестные величины двумя различными способами и полученные выражения приравниваются.
Замечание
В качестве опорного элемента часто выбирается площадь фигуры. Тогда говорят, что используется метод площадей.

Стороны треугольника а, b и с. Вычислить высоту hc, проведенную к стороне с.
Задача 7
x
c-x

Если в задаче требуется найти отношение каких-либо величин, то она решается методом введения вспомогательного параметра.
В начале решения задачи какая-либо линейная величина принимается как известная.
Обозначив ее буквой а, выражаем через нее те величины, отношение которых требуется найти.
Тогда при составлении искомого отношения вспомогательный параметр а сократится.
Замечание

В треугольнике АВС стороны АВ и ВС равны, ВН высота. На стороне ВС взята точка D так, что BD:DC=1:4. Найдите в каком отношении отрезок AD делит высоту ВН.
Задача 8
Пусть ВD=a, тогда
DС=4a, BC=AВ=5а
Проведем НК||AD, тогда
НК – средняя линия ΔADС, то DK=KC=2a
H

В треугольнике АВС стороны АВ и ВС равны, ВН высота. На стороне ВС взята точка D так, что BD:DC=1:4. Найдите в каком отношении отрезок AD делит высоту ВН.
В ΔВНК по теореме Фалеса

В треугольник со сторонами 10, 17 и 21 см, вписан прямоугольник так, что две его вершины находятся на одной стороне треугольника, а две вершины - на двух других сторонах треугольника. Найти стороны прямоугольника, если известно, что его периметр равен 22,5 см.
Задача 9
Нужный факт
Определим вид треугольника.
Значит, треугольник тупоугольный.

В треугольник со сторонами 10, 17 и 21 см, вписан прямоугольник так, что две его вершины находятся на одной стороне треугольника, а две вершины - на двух других сторонах треугольника. Найти стороны прямоугольника, если известно, что его периметр равен 22,5 см.
Тогда две вершины прямоугольника лежат на большей стороне треугольника.
Найдем высоту ВН как в задаче 7.
ВН=8 см
Пусть ЕD=х, тогда
EF=11,25-x,
ВР=8-x
P

В треугольник со сторонами 10, 17 и 21 см, вписан прямоугольник так, что две его вершины находятся на одной стороне треугольника, а две вершины - на двух других сторонах треугольника. Найти стороны прямоугольника, если известно, что его периметр равен 22,5 см.
ΔВEF∞ΔABC
x=6
P
Нужный факт
Ответ: стороны
6 см и 5,25 см

В треугольнике АВС известно, что угол А в два раза больше угла С, сторона ВС на 2 см больше стороны АВ, а АС=5 см. Найти АВ и ВС.
Задача 10
Проведем биссектрису AD угла А.
Тогда ∠ВАD=∠DAC=∠АCB.
ΔDAC – равнобедренный,
АD=DC.

В треугольнике АВС известно, что угол А в два раза больше угла С, сторона ВС на 2 см больше стороны АВ, а АС=5 см. Найти АВ и ВС.
Т.к. ∠ВАD=∠ВСA, ∠B – общий, то ΔАВD∞ΔABC
Ответ: АВ=4 см, ВС=6 см