Применение теоремы синусов

Решить задачи
1.
2.
3.
4.

ФОРМУЛЫ ДЛЯ ПЛОЩАДИ ТРЕУГОЛЬНИКА
Если треугольник со сторонами а, b, c и углами α,β, γ вписан в окружность радиуса R, то для его площади S справедливы формулы:
S = 2R2 sina sinb sing
S=abc/4R

Доказательство.
Сначала докажем первую формулу.Возьмём известную формулу для площади треугольникаи подставим в неё выражения для его сторон аи b через радиус R описанной окружности. Тогда мы получим, чтоS=2Rsina(2Rsinb)sinY/2=2R^2sinasinbsinY.
Теперь докажем вторую формулу. По теореме
синусов для стороны с и угла Y треугольника можно
записать: sin γ =c/2R . Если мы подставим это выражение в ту же формулу для площади треугольника, то получим S= ab sin Y/2= ab/2 c/2R= abc/4R
Что и требовалось доказать

ТЕОРЕМА ПТОЛЕМЕЯ
Произведение диагоналей четырёхугольника,вписанного в окружность, равно сумме произведений двух пар его противоположных
сторон.
АС*ВД= АВ*СД+ ВС*АД

Примеры задач
ПРИМЕР 1. (А) Человек видит дерево внизу на склоне холма
под углом 45° по отношению к его поверхности. От данного
места по склону до дерева он спустился на 54 м. Определите
примерную высоту дерева, если угол склона равен 15°.

Решение. Обозначим корень дерева буквой K, а его
вершину – точкой D. Дерево растёт под прямым углом к
горизонту, поэтому прямая KD перпендикулярна
горизонтальной прямой AH. Из прямоугольного
треугольника AKH найдём, что угол AKH равен 90° – 15° =
75°. Угол DKC тоже равен 75°, поскольку он вертикальный
к углу AKH.

Когда человек находится на склоне в точке C, он видит дерево под углом DCK, равным 45°. Это позволяет
найти угол при вершине D треугольника CDK: 180° – 45° –75° = 60°. Кроме того, по условию нам известно, что CK =
54 м.
Запишем теперь теорему синусов для треугольника
CDK: ДК/sin 45 = CK/sin 60
Откуда следует, что ДК = СК*V2/V3=0,815CK= 44.
Ответ: 44 м.
ПРИМЕР 2. (А) Два угла треугольника равны 11° и 23°, а его
периметр равен 285 см. Пользуясь тригонометрической
таблицей, найдите большую сторону этого треугольника с
точностью до 1 см.

Решение. Сначала найдём третий угол данного треугольника. Его величина равна 180° – 11° – 23° = 146°.
По теореме синусов отношение сторон треугольника равно отношению синусов его углов, которые лежат против этих
сторон. По тригонометрической таблице найдём, что sin11° ≈ 0,190 и sin 23° ≈ 0,390. Синус третьего тупого угла
треугольника можно найти по этой же таблице, если вспомнить формулу приведения sin (180° – α) = sin α. Тогда
sin 146° = sin (180° – 146°) = sin 34° ≈ 0,559.
Поэтому можно считать, что синусы углов этого треугольника равны 0,19, 0,39 и 0,56 с точностью до 0,001.
Отношение синусов этих углов будет удобно считать, если предварительно умножить каждый из них на 100. Поэтому
стороны данного треугольника будут относиться друг к другу

приблизительно как 19 : 39 : 56. Значит, длины этих сторон можно обозначить как 19x, 39x и 56x, где x –некоторое положительное число. При этом для каждой
стороны ошибка будет меньше 0,1x.
По условию периметр треугольника равен 285 см.
Поэтому 19x + 39x + 56x ≈ 285. Откуда 114x ≈ 285.
Конечно, правильнее было бы записать это в виде следующего двойного неравенства: 114 x < 285 < 114,3 x.
Откуда 2,49 < x < 2,5. То есть можно считать, что x ≈ 2,5 c
ошибкой меньшей 0,01. Тогда большая сторона треугольника будет равна 56x ≈ 140 см. А ошибка будет
меньше 0,56 см, т. е. меньше 1 см.
Ответ: 140 см

1. (А) Два угла треугольника равны 16° и 30°. Его сторона,
лежащая против большего из этих углов, равна 20 см.
Найдите сторону, лежащую против меньшего из них, с
точностью до 1 мм.
2. (А) Меньшая сторона параллелограмма равна 1 м. С
точностью до 1 см найдите его большую сторону, если
диагональ параллелограмма образует с этими
сторонами углы 23° и 46°.
3. (А) На гору идут две канатные дороги: одна из них
расположена над крутым её склоном, который
составляет 45° с горизонтом, а другая – на пологом,
образующим с горизонтом угол 30°. Группа туристов
поднималась на гору по первой дороге 20 минут со
скоростью 3 м/c. Сколько времени займёт спуск с
этой горы по второй дороге, если её скорость 5 м/c?