Применение производной

Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на нём
и своего наибольшего, и своего наименьшего значений.
2. Наибольшего и наименьшего значений непрерывная функция может достигать как на концах отрезка, так и внутри него.
унаиб.
yнаим.
a
b
y = f(x)
унаиб.
yнаим.
a
b
y = f(x)

3. Если наибольшее (или наименьшее) значение достигается
внутри отрезка, то только в стационарной или критической точке.
Стационарные точки — точки максимума или минимума.
Критические точки — это точки, в которых производная не существует.

Алгоритм отыскания наименьшего и наибольшего значений непрерывной функции
у = f(x) на отрезке [a, b]:
1) найти производную f'(x);
2) найти стационарные и критические точки функции, лежащие внутри отрезка [а, b];
3) вычислить значения функции y = f(x) в точках, отобранных на втором шаге, и в точках а и b; выбрать среди этих значений наименьшее (это и будет унаим.) и наибольшее (это и будет унаиб.).

Решение.
1)
2)
у'= 0;
х1 = 1, х2 = –1.

3)
yнаим. = 4, х = 1;

Теорема. Пусть функция y = f(x) непрерывна на промежутке X и имеет внутри него единственную стационарную или критическую точку х = х0.
Тогда:
а) если х = х0 — точка максимума, то унаиб. = f(x0);
б) если х = х0 — точка минимума, то yнаим. = f(x0).
унаиб.
yнаим.
a
b
a
b

Решение.
1)
у‘ = 0;
х = –3, х = 2;