Применение производной к исследованию функции и построению графика функции

Цели урока
Ввести понятие касательной к графику функции в точке и выяснить в чем состоит геометрический смысл производной
Научиться находить уравнение касательной для конкретных функций
Научиться определять промежутки возрастания и убывания функции (исследовать функции на монотонность)
Научиться находить точки экстремума функции
Научиться применять производную к исследованию функции и построению графика

1
y = -1
x
y
y = cos x
-π
π
x
y
y = x2
х = 1
y = 2х - 1
х =π

Геометрический смысл
производной
Значение производной функции у=f(x)
в точке x=x0 равно угловому коэффициенту касательной к графику функции у=f(x) в точке x=x0, т. е.

Причем, если :
.

Уравнение касательной

Алгоритм
Найти значение функции в точке хо
Вычислить производную функции
Найти значение производной функции в точке хо
Подставить полученные числа в формулу
y = f(xo) + f `(xo)( x – xo)
Привести уравнение к стандартному виду

Составить уравнение касательной:
к графику функции в точке

Составить уравнение касательной к графику функции в точке .
Ответ:

Исследование функции на монотонность

Исследовать функцию на монотонность – это значит выяснить, на каких промежутках из области определения
функция возрастает,
а на каких – убывает.

Функция возрастает
Функция убывает

Возрастание и убывание функции можно изобразить так
Иду в гору. Функция возрастает на промежутке[b;a]
Иду под гору. Функция убывает на промежутке[a;с]

Для определения промежутков возрастания и убывания функции можно использовать и производную .

Теорема:
Если f(x) – непрерывна на промежутке и имеет f´(x), то
а) если f´(x) > 0, то f(x) – возрастает
б) если f´(x) < 0, то f(x) – убывает
f´(x)
f (x)
+
-

Алгоритм исследования функции на монотонность
Найти производную функции f ΄(х)
Найти стационарные (f ΄(х) = 0) и критические (f ΄(х) не существует) точки функции у= f(х)
Отметить стационарные и критические точки на числовой прямой
Определить знаки производной на получившихся промежутках
По знаку производной определить промежутки монотонности функции
(если f ΄(х) > 0 – функция возрастает; если f ΄(х) < 0
функция убывает; если f ΄(х) =0 – функция постоянна)

Определения
Внутренние точки области определения функции, в которых производная функции равна нулю, называются стационарными.
Внутренние точки области определения функции, в которых функция непрерывна, но производная не существует, называются критическими

Например: найти промежутки монотонности функции f(x) = x³ - 6x² + 9x – 1
1) f´(x) = 3x² - 12x + 9
2) Найдем стационарные точки:
f´(x) = 0, 3x² - 12x + 9 = 0
x² - 4x + 3 = 0
x = 1 и х = 3
3)
4)
5) f ´(x) > 0, при x ϵ (-∞; 1) и (3; + ∞)
f ´(x) < 0, при х ϵ (1; 3)
Ответ: при x ϵ (-∞; 1) и (3; + ∞) функция возрастает, а при х ϵ (1; 3) - убывает
х
1
3
f ´(x)
f(x)
+
+
-

Нахождение
точек экстремума
функции

Если в точке х0 производная меняет знак с «+» на «-», то точка х0 – это точка максимума
хmax
xmax
ymax
точка максимума

Если в точке х0 производная меняет знак с «-» на «+», то точка х0 – это точка минимума
хmin
xmin
ymin
точка минимума

Если в точке х0 знаки производной одинаковы, то в точке х0 экстремума нет
х0
х0
экстремума нет

Алгоритм нахождения точек экстремума функции
Найти производную функции f ΄(х)
Найти стационарные и критические точки функции у = f(х)
Отметить стационарные и критические точки на числовой прямой
Определить знаки производной на получившихся промежутках
Если f ′(х0) при переходе через точку меняет знак с «+» на «-», то эта точка – точка максимума. Если f ′(х0) при переходе через точку меняет знак с «-» на «+», то эта точка – точка минимума. Если f ′(Х0) не меняет знак, то в этой точке экстремума нет (это точка перегиба).

Например: найти точки экстремума функции
Решение. 1) у΄=12 х³ - 48х² + 48х =
= 12х(х²-4х+4) = 12х (х - 2)²
2) у΄=0 при х =0 и х =2 (стационарные точки)
3)
4)
5) Значит: х = 0 – точка минимума,
х
0
2
-
+
+
f ´(x)

х = 0 – точка минимума,
хmin = 0
(0;-11) точка минимума (экстремума)

Построим график
функции:
х
у
0
5
2
-11

Например: исследовать функцию
у = 2х³+3х² -1 и построить её график
Решение. D(у)= (-∞; +∞), четность не определена
Найдем стационарные точки:
т.к. у΄=6х²+6х=6х(х+1) => 6х(х+1)=0
тогда х=0 и х=-1 стационарные точки
Найдем точки экстремума:
т.к.
и х=-1 – точка максимума
х= 0 – точка минимума
х
0
-1
f´(x)
+
+
-
f(x)

Найдем промежутки монотонности:
при x ϵ (-∞; -1] и [0; + ∞) - функция возрастает
при x ϵ [-1; 0] - функция убывает
т.к. х=-1 – точка максимума, то уmax=0 т.к. х= 0 – точка минимума, уmin=-1

Построим график
функции:
х
у
0
-1
-2