Признаки возрастания и убывания функции. Экстремум функции

Одной из основных задач, возникающих при исследовании функции, является нахождение промежутков монотонности функции (промежутков возрастания и убывания). Такой анализ легко сделать с помощью производной.

Функция y=f(x) называется возрастающей в некотором интервале, если в точках этого интервала большему значению аргумента соответствует большее значение функции, и убывающей, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

возрастающая
убывающая
убывающая
убывающая
возрастающая
возрастающая и убывающая
на интервалах
возрастающая и убывающая
на интервалах
возрастающая и убывающая
на интервалах

Если дифференцируемая функция y=f(x) возрастает (убывает) в данном интервале, то производная этой функции не отрицательна (не положительна) в этом интервале.
Теорема 1.

Если производная функции y=f(x) положительна (отрицательна) на некотором интервале, то функция в этом интервале монотонно возрастает (монотонно убывает).
Теорема 2.

Находим область определения функции f(x).
Вычисляем производную f’(x) данной функции.
Находим точки, в которых f’(x)=0 или не существует. Эти точки называются критическими для функции f(x).
Делим область определения функции этими точками на интервалы. Они являются интервалами монотонности.
Исследуем знак f’(x) на каждом интервале. Если f’(x)›0, то на этом интервале f(x) возрастает; если f’(x)‹0, то на таком интервале функция f(x) убывает.
Правило нахождения интервалов
монотонности

Область определения: R. Функция непрерывна.
Вычисляем производную : y’=6x²-6x-36.
Находим критические точки: y’=0.
x²-x-6=0
Д=1-4*(-6)*1=1+24=25
Делим область определения на интервалы:
Функция возрастает при xϵ(-∞;-2]υ[3;+∞), функция убывает при xϵ[-2;3].
Пример №1. Найти промежутки монотонности функции y=2x³-3x²-36x+5

Область определения: R. Функция непрерывна.
Вычисляем производную : y’=3x²-6x.
Находим критические точки: y’=0.
x²-2x=0
x(x-2)=0
x1=0 и x2=2
Делим область определения на интервалы:
Функция возрастает при xϵ(-∞;0]υ[2;+∞), функция убывает при xϵ[0;2].
Пример №2. Найти промежутки монотонности функции y=x³-3x²

Точку x=x0 называют точкой минимума функции y=f(x), если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой выполняется неравенство f(x)≥f(x0).
Точку x=x0 называют точкой максимума функции y=f(x), если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой выполняется неравенство f(x)≤f(x0).

Если функция y=f(x) имеет экстремум в точке x=x0, то в этой точке производная функции или равна нулю, или не существует.
Теорема 3.

Если производная f’(x) при переходе через точку x0 меняет знак, то точка x0 является точкой экстремума функции f(x).
Если производная меняет знак с + на –, то точка будет являться точкой максимума, если с – на +, то точка будет точкой минимума
Теорема 4.

Область определения: R. Функция непрерывна.
Вычисляем производную : y’=-6x²-6x+12.
Находим критические точки: y’=0.
-x²-x+2=0
Д=1-4*(-1)*2=1+8=9
x1=1; x2=-2
Делим область определения на интервалы:
x=-2 – точка минимума. Найдём минимум функции ymin=-24. x=1 – точка максимума. Найдём максимум функции: ymax=3.
Пример №3. Найти экстремумы функции
y= -2x³-3x²+12x-4

Исследовать на экстремум функцию y=x2+2.
Решение:
Находим область определения функции: D(y)=R.
Находим производную: y’=(x2+2)’=2x.
Приравниваем её к нулю: 2x=0, откуда x=0 – критическая точка.
Делим область определения на интервалы и определяем знаки производной на каждом интервале:
x=0 – точка минимума. Найдём минимум функции ymin=2.

Исследовать на экстремум функцию
y=x3+3x2+9x-6.
Решение:
Находим область определения функции: D(y)=R.
Находим производную: y’=(x3+3x2+9x-6)’=3x2+6x+9.
Приравниваем её к нулю: 3x2+6x+9=0, откуда D<0. То есть критических точек не существует.
Однако, функция возрастает на всей D(y), так как y’=3x2+6x+9 >0: