Производная функции

Производная
Производная функции это отношение приращения функции к приращению аргумента при бесконечно малом приращение аргумента.
Приращением в математике называют изменение. То, насколько изменился аргумент (x) при продвижении вдоль оси, называется приращением аргумента и обозначается Δx. То, насколько изменилась функция (высота) при продвижении вперед вдоль оси Ox, на расстояние Δx, называется приращением функции и обозначается Δf.

Вычисление производных

Правило дифференцирования (нахождение производной)

Физический смысл производной

Примеры заданий

20
59
8

Геометрический смысл производной

Уравнение касательной

Примеры заданий
Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс.
A
B
C

0,25

Примеры заданий
Поскольку касательная параллельна прямой y = −2x − 11 или совпадает с ней, их угловые коэффициенты равны –2.

5
7

5

Применение производной к исследованию функции

На рисунке изображен график функции , определенной на интервале . Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.
Дан график функции
Теория:
F’(X)>0
, Следовательно ,
функция возрастает
Решение:
Найдем участки возрастания функции
(выделяем их последовательно на графике)
Выделяем соответствующие им
участки оси ОХ
- Найдем целые точки на этих отрезках
-Исключим точки, в которых производная равна нулю(в этих точках касательная параллельна оси ОХ) и еще исключим точки, являющиеся концами выделенных интервалов
- Считаем оставшиеся точки

На рисунке изображен график функции , определенной на интервале . Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.
Дан график функции
Теория:
F’(X)<0
, cледовательно, функция убывает
Решение:
Найдем участки убывания функции
(выделяем их последовательно на графике)
Выделяем соответствующие им
участки оси ОХ
- Найдем целые точки на этих отрезках
-Исключим точки, в которых производная равна нулю(в этих точках касательная параллельна оси ОХ)
- Считаем оставшиеся точки

1+4+9+11+2+7+10=44

Точки максимума соответствуют точкам смены знака производной с положительного на отрицательный.
Ответ: 1

Точки минимума соответствуют точкам смены знака производной с отрицательного на положительный.
Ответ: 1

Ответ: 5