Определенный интеграл (для высшей математики) (1)

Содержание

Слайд 2

ПЛАН

Понятие определенного интеграла.
Свойства определенного интеграла.
Метод замены переменной.
Несобственные интегралы.
Приложения определенного интеграла.

ПЛАН Понятие определенного интеграла. Свойства определенного интеграла. Метод замены переменной. Несобственные интегралы. Приложения определенного интеграла.

Слайд 3

 

1. Понятие определенного интеграла

К понятию определенного интеграла приводит задача нахождения площади криволинейной

1. Понятие определенного интеграла К понятию определенного интеграла приводит задача нахождения площади
трапеции.
Пусть на некотором интервале [a,b] задана непрерывная функция
Задача:
Построить ее график и найти F площадь фигуры, ограниченной этой кривой, двумя прямыми x = a и x = b, а снизу – отрезком оси абсцисс между точками x = a и x = b.

Слайд 4

Фигура aABb называется криволинейной трапецией

Фигура aABb называется криволинейной трапецией

Слайд 5


Def.

Под определенным интегралом
от данной непрерывной функции f(x) на данном отрезке

Def. Под определенным интегралом от данной непрерывной функции f(x) на данном отрезке
[a;b] понимается соответствующее приращение ее первообразной, то есть
Числа a и b – пределы интегрирования, [a;b] – промежуток интегрирования.

Слайд 6

Правило:

Определенный интеграл равен разности значений первообразной подынтегральной функции для верхнего и нижнего

Правило: Определенный интеграл равен разности значений первообразной подынтегральной функции для верхнего и
пределов интегрирования.
Введя обозначения для разности

Формула Ньютона – Лейбница.

Слайд 7

Готфрид Вильгельм Лейбниц

(1646 – 1716 гг.) 
Выдающийся немецкий мыслитель Готфрид Вильгельм Лейбниц  принадлежал

Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646 – 1716 гг.) Выдающийся немецкий мыслитель Готфрид Вильгельм
к роду, известному своими учеными и политическими деятелями. Он изобретал всевозможные универсальные приемы для решения всех задач сразу и, может быть, поэтому вслед за Паскалем стал строить вычислительные устройства.

Слайд 8

Исаак НЬЮТОН (Newton)

(04.01.1643 - 31.03.1727)
Английский физик и математик, создатель теоретических основ механики

Исаак НЬЮТОН (Newton) (04.01.1643 - 31.03.1727) Английский физик и математик, создатель теоретических
и астрономии. Он открыл закон всемирного тяготения, разработал (наряду с Г. Лейбницем) дифференциальное и интегральное исчисления, изобрел зеркальный телескоп и был автором важнейших экспериментальных работ по оптике. Ньютона по праву считают создателем "классической физики".

Слайд 9

2. Основные свойства определенного интеграла.

1)Величина определенного интеграла не зависит от обозначения переменной

2. Основные свойства определенного интеграла. 1)Величина определенного интеграла не зависит от обозначения
интегрирования, т.е.
где x и t – любые буквы.
2)Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю

Слайд 10

3) При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет свой знак на обратный
(свойство аддитивности)
4)

3) При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет свой знак на обратный
Если промежуток [a;b] разбит на конечное число частичных промежутков, то определенный интеграл, взятый по промежутку [a;b], равен сумме определенных интегралов, взятых по всем его частичным промежуткам.

Слайд 11

5)Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла.
6)Определенный интеграл от алгебраической суммы

5)Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла. 6)Определенный интеграл от алгебраической
конечного числа непрерывных функций равен такой же алгебраической сумме определенных интегралов от этих функций.

Слайд 12

3. Замена переменной в определенном интеграле.

где
для , функции и непрерывны на .
Пример:

3. Замена переменной в определенном интеграле. где для , функции и непрерывны
=
=

Слайд 13

Потренируемся!

Потренируемся!

Слайд 14

4. Несобственные интегралы.

Def: Пусть функция f(x) определена на бесконечном интервале [a; + ∞)

4. Несобственные интегралы. Def: Пусть функция f(x) определена на бесконечном интервале [a;
и интегрируется на любом интервале [a;b], где b < + ∞. Если существует
,
то этот предел называется несобственным интегралом функции f(x) на интервале
[a; + ∞) и обозначается .

Слайд 15

Таким образом, по определению,
Если этот предел - некоторое число, то
интеграл
называется сходящимся,

Таким образом, по определению, Если этот предел - некоторое число, то интеграл
если предела не существует, или он равен ∞, то говорят, что интеграл расходится.

Слайд 16

ПУАССОН, СИМЕОН ДЕНИ (Poisson, Simeon-Denis)

(1781–1840 гг.)
Французский математик, механик и физик. В

ПУАССОН, СИМЕОН ДЕНИ (Poisson, Simeon-Denis) (1781–1840 гг.) Французский математик, механик и физик.
1811 он вывел получившее широкое применение уравнение, связывающее электрический потенциал с плотностью пространственного распределения заряда (уравнение Пуассона).

Слайд 17

Интеграл Пуассона:
если а = 1, то
Интеграл сходится, и его значение .

Интеграл Пуассона: если а = 1, то Интеграл сходится, и его значение .

Слайд 18

5. Приложения определенного интеграла

1) Площадь плоских фигур.
а) если
б) если
в)

5. Приложения определенного интеграла 1) Площадь плоских фигур. а) если б) если в)

Слайд 19

г)
2) интеграл от
величины силы по длине пути.

г) 2) интеграл от величины силы по длине пути.
Имя файла: Определенный-интеграл-(для-высшей-математики)-(1).pptx
Количество просмотров: 44
Количество скачиваний: 0