Методы решения СЛАУ

СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ (СЛАУ)
m – уравнений,n – неизвестных

СЛАУ В МАТРИЧНОМ ВИДЕ

ПРИМЕР ЗАДАЧ, РЕШЕНИЕ КОТОРЫХ СВОДИТСЯ К РЕШЕНИЮ СЛАУ

2.1
ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СЛАУ

2.1.1 МЕТОД ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ
Решение:
Дано:

2.1.1 МЕТОД ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ
Если m=n и detА≠0, то система имеет единственное решение.
Вычисление обратной матрицы для n>4 требует много времени.

2.1.1 МЕТОД ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ
Решение:
Пример.
Решить систему уравнений:

2.1.1 МЕТОД ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ
Решение:

2.1.2 МЕТОД КРАМЕРА

2.1.2 МЕТОД КРАМЕРА
Решение:
Пример.
Решить систему уравнений:

2.1.2 МЕТОД КРАМЕРА
Решение:

2.1.2 МЕТОД КРАМЕРА
Решение:

2.1.2 МЕТОД КРАМЕРА
Решение:

2.1.2 МЕТОД КРАМЕРА
Решение:

2.1.2 МЕТОД КРАМЕРА
Решение:

2.1.2 МЕТОД КРАМЕРА
Решение:

2.1.2 МЕТОД КРАМЕРА
Решение:

2.1.2 МЕТОД КРАМЕРА
Пример:
detA≠0,
при больших n вычисление определителей трудоемко.

2.1.3 МЕТОД ГАУССА
алгоритм последовательного исключения неизвестных.
Прямой ход:

2.1.3 МЕТОД ГАУССА
алгоритм последовательного исключения неизвестных.
Прямой ход:

2.1.3 МЕТОД ГАУССА
алгоритм последовательного исключения неизвестных.
Прямой ход:

2.1.3 МЕТОД ГАУССА
алгоритм последовательного исключения неизвестных.
Прямой ход:

2.1.3 МЕТОД ГАУССА
Решение:
Пример.
Решить систему уравнений:

2.1.3 МЕТОД ГАУССА
Решение:

2.1.3 МЕТОД ГАУССА
Решение:

2.1.3 МЕТОД ГАУССА
Решение:

2.1.3 МЕТОД ГАУССА
Решение:

2.1.3 МЕТОД ГАУССА
Решение:

2.1.3 МЕТОД ГАУССА
алгоритм последовательного исключения неизвестных.
Обратный ход:

2.1.3 МЕТОД ГАУССА
Решение:

2.1.3 МЕТОД ГАУССА
Решение:

2.1.3 МЕТОД ГАУССА
Решение:

2.1.3 МЕТОД ГАУССА
Решение:

2.1.3 МЕТОД ГАУССА
Необходимое и достаточное условие применимости: ведущие элементы ≠0

2.1.4 МЕТОД ГЛАВНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
За ведущий элемент выбирается наибольший по модулю и не принадлежащий столбцу свободных членов элемент в каждой строке.
Метод Гаусса – частный случай метода главных элементов.

2.1.4 МЕТОД ГЛАВНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
Применим, если det A≠0

2.1.5 МЕТОД КВАДРАТНЫХ КОРНЕЙ
Дано:
Решение:
,

2.1.5 МЕТОД КВАДРАТНЫХ КОРНЕЙ
Дано:
Решение:
,
Тогда

2.1.5 МЕТОД КВАДРАТНЫХ КОРНЕЙ

2.1.5 МЕТОД КВАДРАТНЫХ КОРНЕЙ

2.1.5 МЕТОД КВАДРАТНЫХ КОРНЕЙ
Решение:
Пример.
Решить систему уравнений:

2.1.6 МЕТОД LU-РАЗЛОЖЕНИЯ
(СХЕМА ХАЛЕЦКОГО)
Дано: где А – квадратная матрица.
Решение:
нижняя
треугольная матрица
верхняя
треугольная матрица
с единичной диагональю

2.1.6 МЕТОД LU-РАЗЛОЖЕНИЯ
(СХЕМА ХАЛЕЦКОГО)
Дано: где А – квадратная матрица.
Решение:
Тогда
нижняя
треугольная матрица
верхняя
треугольная матрица
с единичной диагональю

2.1.6 МЕТОД LU-РАЗЛОЖЕНИЯ
(СХЕМА ХАЛЕЦКОГО)
Дано: где А – квадратная матрица.
Решение:
Тогда
нижняя
треугольная матрица
верхняя
треугольная матрица
с единичной диагональю

2.1.6 МЕТОД LU-РАЗЛОЖЕНИЯ
(СХЕМА ХАЛЕЦКОГО)

2.1.6 МЕТОД LU-РАЗЛОЖЕНИЯ
(СХЕМА ХАЛЕЦКОГО)

2.1.6 МЕТОД LU-РАЗЛОЖЕНИЯ
(СХЕМА ХАЛЕЦКОГО)

2.1.6 МЕТОД LU-РАЗЛОЖЕНИЯ
(СХЕМА ХАЛЕЦКОГО)

2.1.6 МЕТОД LU-РАЗЛОЖЕНИЯ
(СХЕМА ХАЛЕЦКОГО)

2.1.6 МЕТОД LU-РАЗЛОЖЕНИЯ
(СХЕМА ХАЛЕЦКОГО)

2.1.6 МЕТОД LU-РАЗЛОЖЕНИЯ
(СХЕМА ХАЛЕЦКОГО)
Решение:
Пример.
Решить систему уравнений:

2.1.6 МЕТОД LU-РАЗЛОЖЕНИЯ
(СХЕМА ХАЛЕЦКОГО)
Решение:

2.1.6 МЕТОД LU-РАЗЛОЖЕНИЯ
(СХЕМА ХАЛЕЦКОГО)
Решение:

2.1.6 МЕТОД LU-РАЗЛОЖЕНИЯ
(СХЕМА ХАЛЕЦКОГО)
Решение:

2.2
ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СЛАУ

2.2.1 МЕТОД ПРОСТОЙ ИТЕРАЦИИ
Дано:
где А –матрица с ненулевыми диагональными коэффициентами.
Решение:
1. Приведем систему к виду (*)
2. Строим последовательные приближения:
...
.

2.2.1 МЕТОД ПРОСТОЙ ИТЕРАЦИИ
Решение:
Приведем систему к виду (*):
Пример.
Решить систему уравнений:

2.2.1 МЕТОД ПРОСТОЙ ИТЕРАЦИИ
Решение:
Строим последовательные приближения:

2.2.1 МЕТОД ПРОСТОЙ ИТЕРАЦИИ
Если требуется точность m верных десятичных знаков,
то:
1) вычисления ведем с m+1 десятичными знаками,
последовательные приближения вычисляем до ,
результат округляем до m верных знаков.

2.2.1 МЕТОД ПРОСТОЙ ИТЕРАЦИИ
Если требуется точность m верных десятичных знаков,
то:
1) вычисления ведем с m+1 десятичными знаками,
последовательные приближения вычисляем до ,
результат округляем до m верных знаков.

2.2.1 МЕТОД ПРОСТОЙ ИТЕРАЦИИ
.
Процесс хорошо сходится , если элементы матрицы малы по абсолютной величине.
Начальное приближение может быть выбрано произвольно.

2.2.1 МЕТОД ПРОСТОЙ ИТЕРАЦИИ

2.2.1 МЕТОД ПРОСТОЙ ИТЕРАЦИИ
.
Процесс хорошо сходится , если элементы матрицы малы по абсолютной величине.
Начальное приближение может быть выбрано произвольно.
Теорема (достаточное условие сходимости)
Если для приведенной системы (*) выполнено
по меньшей мере одно из условий:
или
то процесс итерации сходится к единственному решению
этой системы, независимо от выбора начального приближения.

2.2.1 МЕТОД ПРОСТОЙ ИТЕРАЦИИ
Теорема.
Процесс итерации для приведенной СЛАУ сходится к
единственному ее решению, если

2.2.1 МЕТОД ПРОСТОЙ ИТЕРАЦИИ
Следствие.
Процесс итерации для приведенной СЛАУ сходится к
единственному ее решению, если в

2.2.2 МЕТОД ЗЕЙДЕЛЯ
Дано:
Решение:
1. Выбираем начальное приближение
2. Строим последовательные приближения c учетом уже вычисленных:
...
.

2.2.2 МЕТОД ЗЕЙДЕЛЯ
Пример:
Решение:
1. Выбираем начальное приближение
2. Строим последовательные приближения:
и т.д.
.