Производная. Определение производной

№ 39.36 а)

II. Задачи, приводящие к понятию производной
Задача 1. О скорости движения

Геометрический смысл приращения функции
A
B
Секущая
С
Таким образом,
k – угловой коэффициент прямой(секущей)
II. Задачи, приводящие к понятию производной
Задача 2. О касательной
Отношение приращения функции к приращению аргумента равно тангенсу угла наклона секущей к положительному направлению оси ОХ.

Секущая стремится занять положение касательной. То есть, касательная есть предельное положение секущей.
Секущая
Секущая
II. Задачи, приводящие к понятию производной
Задача 2. О касательной
Этот рисунок в тетради по теории можно не рисовать, просто посмотреть движение секущей к положению касательной.

Задача 3. О скорости химической реакции
Пусть некоторое вещество вступает в химическую реакцию. Количество этого вещества Q изменяется в течение реакции в зависимости от времени t и является функцией от времени.
Пусть за время ∆t количество вещества изменяется на ∆Q , тогда отношение будет выражать среднюю скорость химической реакции за время ∆t.
Предел этого отношения - это скорость химической реакции в данный момент времени t.
Задача 4. О скорости радиоактивного распада
Если m - масса радиоактивного вещества и t - время, то явление радиоактивного распада в момент времени t при условии, что масса радиоактивного вещества с течением времени уменьшается, характеризуется функцией m= m(t).
Средняя скорость распада за время ∆t выражается отношением
а мгновенная скорость распада в момент времени t -
.
II. Задачи, приводящие к понятию производной

III. Определение производной
Вышеприведенные задачи приводят к одному и тому же выводу – пределу отношения приращения функции к приращению аргумента, при условии, что приращение аргумента стремится к нулю.
2) Обозначение. Производную функции у = f(x) обозначают f '(x), или у '(x), или у ' (говорят: «эф штрих от икс», «игрек штрих от икс»).
или

5) Алгоритм вычисления производной f '(x)
1. Найти приращение функции ∆у= f(x+∆x) - f(x).
2. Составить отношение
3. Найти предел этого отношения при ∆x⇾0 (если этот предел существует).
III. Определение производной
Примеры.
0
0
(kx + b)' = k
4) Если f(х) имеет производную в точке х, то функцию называют дифференцируемой в этой точке.
Процесс нахождения производной называется дифференцированием.

(kx + b)' = k
III. Определение производной
Пример 3.
(2x + 3)' = 2
(4x – 1)' = 4
(x + 5)' = 1
(3 – x)' = – 1
(– 2 – 5x)' = – 5
(x)' = 1
(– x)' = –1
Пример 4.
( х2 )' = 2х
С' = 0
(2)' = 0, (- 1,5)' = 0