Цифровой образовательный ресурс по алгебре. 8 класс

Рациональные дроби и их свойства
Рациональная дробь - это дробь, числителем и знаменателем которой являются многочлены. Основное свойство дроби: если числитель и знаменатель некоторой рациональной дроби умножить на один и тот же многочлен, не равный тождественно нулю, то получится дробь, равная исходной
Примеры:
Ссылка на видеоурок:
https://www.youtube.com/watch?v=OGtFR2nWpow

Квадратные корни
Квадратный корень из числа a — число x, дающее a при возведении в квадрат: Равносильное определение: квадратный корень из числа a — решение уравнения
Примеры:
Ссылка на видеоурок:
https://www.youtube.com/watch?v=-73fNIIRIYc

Квадратные уравнения
Квадратное уравнение, или уравнение второй степени, — алгебраическое уравнение общего вида ax^{2}+bx+c=0, в котором выступает квадратный трёхчлен, или трёхчлен второй степени, ax^{2}+bx+c, где x — неизвестное, a, b, c — коэффициенты
Примеры:
Ссылка на видеоурок:
https://www.youtube.com/watch?v=9NiVFyhY-f0

Степень с целым показателем
Степень с целым показателем — это степень, показателем которой является любое целое число. В дальнейшем любую степень с натуральным, нулевым или целым отрицательным показателем, мы будем называть степенью с целым показателем
Примеры:
Ссылка на видеоурок:
https://www.youtube.com/watch?v=K9pULnoykTQ

Теорема Виета. Приведенные уравнения
Для начала сформулируем саму теорему: Пусть у нас есть приведённое квадратное уравнение вида x^2+b*x + c = 0. Допустим, это уравнение содержит корни x1 и x2. Тогда по теореме следующие утверждения допустимы:
1) Сумма корней x1 и x2 будет равняться отрицательному значению коэффициента b.
X1+X2 = - b ;
2) Произведение этих самых корней будет давать нам коэффициент c .
X1*X2 = c ;
Приведённым квадратным уравнением называется квадратное уравнение, коэффициент старшей степени, которой равен единицы, т.е. это уравнение вида x^2 + b*x + c = 0. (а уравнение a*x^2 + b*x + c = 0 неприведенное). Другими словами, чтобы привести уравнение к приведённому виду, мы должны разделить это уравнение на коэффициент при старшей степени (a).
Теорема Виета позволяет нам решить любое квадратное приведённое уравнение практически за секунды.
https://www.youtube.com/watch?v=YctnR1JX1WM

Графический способ решения уравнений
Одним из способов решения уравнений является графический способ. Он основан на построении графиков функции и определения точек их пересечения. Рассмотрим графический способ решения квадратного уравнения a*x^2+b*x+c=0.
Первый способ решения
Преобразуем уравнение a*x^2+b*x+c=0 к виду a*x^2 =-b*x-c. Строим графики двух функций y= a*x^2 (парабола) и y=-b*x-c (прямая). Ищем точки пересечения. Абсциссы точек пересечения и будут являться решением уравнения.
Покажем на примере: решить уравнение x^2-2*x-3=0.
Преобразуем его в x^2 =2*x+3. Строим в одной системе координат графики функции y= x^2 и y=2*x+3.
Графики пересекаются в двух точках. Их абсциссы будут являться корнями нашего уравнения.
Решение по формуле
Для убедительности проверим это решение аналитическим путем. Решим квадратное уравнение по формуле:
D = 4-4*1*(-3) = 16.
X1= (2+4)/2*1 = 3.
X2 = (2-4)/2*1 = -1.
Значит, решения совпадают.
Графический способ решения уравнений имеет и свой недостаток, с помощью него не всегда можно получить точное решение уравнения. Попробуем решить уравнение x^2=3+x. Построим в одной системе координат параболу y=x^2 и прямую y=3+x.
Опять получили похожий рисунок. Прямая и парабола пересекаются в двух точках. Но точные значения абсцисс этих точек мы сказать не можем, только лишь приближенные: x≈-1,3 x≈2,3.