Проверка корней тригонометрического уравнения

В основу метода проверки корней тригонометрического уравнения следует положить понятие периода уравнения.
Пусть дано, например, уравнение:
Легко заметить, что периодом этого уравнения может служить угол 180°.
Действительно,
cos 4(х+180°)=cos (4х + 2 *360°) = cos 4х,
sin 2(х+180°)= sin ( 2х + 360°)= sin 2х и т.д.

Чтобы найти период тригонометрического уравнения, достаточно найти периоды каждой функции, входящей в это уравнение , а затем отыскать их наименьшее общее кратное.
Чтобы найти, пользуясь этим правилом , период вышеприведенного тригонометрического уравнения, надо рассуждать следующим образом: так как период каждой из функций sin 4х и cos 4х равен
=90°, а период каждой из
функций sin 2х и cos 2х есть 360°̷ 2=180° , то периодом уравнения будет наименьшее общее кратное углов 90° и 180°, то есть 180°

Пример. Решить уравнение:
cos 2х + 3sin х = 2 (1)
и проверить найденные корни.
Имеем:
(1-2sin²х)+3sin х=2,
2sin²х - 3sin х+1=0.
Отсюда,
sin х1=1, sin х2 =1/2
х1= 360°n +90°,
х2= 180°n+ (-1)ⁿ 30°

Полученное множество корней бесконечно. Чтобы проверить все корни, достаточно произвести проверку только тех из них, которые лежат в пределах одного периода уравнения. Так как периодом уравнения (1) служит угол в 360°, то проверить нужно лишь корни, которые удовлетворяют неравенству: -180°< х ≤180°.
Если придавать n различные целые значения (положительные, отрицательные или нуль), то мы обнаружим лишь три корня, удовлетворяющие этому неравенству, а именно: 90°, 30°, 150°.

После подстановки их в исходное уравнение (1) найдем, что каждый из них обращает это уравнение в верное числовое равенство.
Действительно,
сos180° + 3sin90°=-1+3 = 2,
cos60° + 3sin30°= + = 2,
cos 300° + 3sin150°= + =2.

Есть одно затруднение, с которым сталкиваются: иногда общий вид углов, правильно найденный при решении тригонометрического уравнения, не совпадает с общим видом углов, указанным в ответе к задаче. Порой возникает сомнение в правильности своего решения. Рассеять это сомнение можно только посредством доказательства, что множество всех найденных корней и множество всех корней, определяемое общей формулой в ответе задачи, между собой совпадают.

Допустим, что при решении уравнения
sin² - cos² = cos
получены корни:
х1= 720°n ± 120°,
х2= 360°(2n+1),
а ответ задачи дан в другой форме:
х= 120°(2n+1).