Операции и алгебры

N-арная операция на множестве М – это функция типа
,
где n – арность операции. Операция замкнута относительно множества М по определению, т. е. операция над элементами множества М, и результат тоже элемент М.

Алгеброй называется множество, вместе с заданной на нем совокупностью операций , т. е. система
.

М – основное (несущее) множество (носитель алгебры) алгебры А.
Тип алгебры – вектор арностей операций.
Сигнатура – совокупность операций Ω.

Множество называется замкнутым относительно
n-арной операции на М, если
,
т. е. если значения на аргументе из
принадлежат .

Если замкнуто относительно
всех операций , алгебры А с носителем М, то система
называется подалгеброй алгебры А

Примеры:
Алгебра – называется полем действительных чисел.
Обе операции бинарные, поэтому тип этой алгебры (2,2).
Сигнатура .
Подалгеброй этой алгебры является, например, поле рациональных чисел.

Примеры:
Пусть . Определим на операции:
– «сложение по модулю р»,
– «умножение по модулю р», следующим образом:
и ,
где с и d – остатки от деления на р чисел а + b и а ⋅ b соответственно.

Примеры:
Пусть, например, р = 7, тогда
и
, ,
.
Часто обозначают: a + b = с (mod p) и a ⋅ b = d (mod p).

Примеры:
Конечным полем характеристики р называется алгебра
если р – простое число.

Пример:
Булеаном U называется множество всех подмножеств множества U (обозначается B(U)).
Булева алгебра множеств над U или алгебра Кантора – алгебра В=(B(U), ). Ее тип (2,2,1), сигнатура ( ).
Элементами основного множества булевой алгебры являются множества (подмножества U).

Пример:
Для любого
– является подалгеброй В.

Пример:
Множество
тогда основное множество алгебры В содержит 16 элементов.
является подалгеброй В.

Свойства бинарных алгебраических операций
Операция φ называется ассоциативной, если для любых элементов а, b, с

Пример:
1. Сложение и умножение чисел ассоциативны, что позволяет не ставить скобки в выражениях и .
2. Возведение в степень
– не ассоциативна, так как
не равно .

Свойства бинарных алгебраических операций
Операция φ называется коммутативной, если для любых элементов a, b

Пример:
1 Сложение чисел коммутативно («от перемены мест слагаемых сумма не меняется»):
2. Умножение чисел коммутативно («от перемены мест множителей произведение не меняется»):

Пример:
3 Вычитание и деление – некоммутативные операции.
2. Умножение матриц – некоммутативная операция, например:

Свойства бинарных алгебраических операций
Операция φ называется дистрибутивной слева относительно операции ψ, если для любых a, b, с

Свойства бинарных алгебраических операций
Операция φ называется дистрибутивной справа относительно операции ψ, если для любых a, b, с

Пример:
1 Умножение дистрибутивно относительно сложения слева и справа

Пример:
2 Возведение в степень дистрибутивно относительно умножения справа.

Пример:
но не слева, так как