Пряма в просторі. Площина

ПРЯМА В ПРОСТОРІ. ПЛОЩИНА
План
1. Різні рівняння площини
2. Кут між двома площинами
3. Відстань від точки до площини
4. Різні рівняння прямої лінії в просторі
5. Кут між двома прямими в просторі
6. Кут між прямою і площиною
7. Приклади розв’язання типових завдань
8. Запитання для самоконтролю

ПРЯМА В ПРОСТОРІ. ПЛОЩИНА
1. Різні рівняння площини
Загальне рівняння площини
Нехай площина проходить через точку
перпендикулярно вектору
Цими умовами визначається єдина площина в просторі Оxyz.
Візьмемо в площині довільну точку
Значить, скалярний добуток цих векторів дорівнює нулеві, тобто

ПРЯМА В ПРОСТОРІ. ПЛОЩИНА
1. Різні рівняння площини
Загальне рівняння площини
Одержане рівняння запишемо в координатній формі:
Рівняння площини, записане у вигляді
називається загальним рівнянням площини.

ПРЯМА В ПРОСТОРІ. ПЛОЩИНА
1. Різні рівняння площини
Частинні випадки загального рівняння площини
.

ПРЯМА В ПРОСТОРІ. ПЛОЩИНА
1. Різні рівняння площини
Частинні випадки загального рівняння площини
3. Якщо дорівнюють нулеві коефіцієнти при двох із координатних змінних, то площина паралельна відповідній координатній площині.
4. Якщо дорівнює нулеві коефіцієнт при одній із координатних змінних і D=0, то площина проходить через відповідну координатну вісь.
5. Якщо дорівнюють нулеві коефіцієнти при двох координатних змінних і D=0, то площина співпадає з відповідною координатною площиною. Так, наприклад, площина задана рівнянням 5z=0. Маємо рівняння координатної площини Oxy.
.

ПРЯМА В ПРОСТОРІ. ПЛОЩИНА
1. Різні рівняння площини
Рівняння площини, яка проходить через три задані точки
Нехай задано три точки
які не лежать на одній прямій.

ПРЯМА В ПРОСТОРІ. ПЛОЩИНА
1. Різні рівняння площини
Рівняння площини, яка проходить через три задані точки
Ці три вектори лежать в одній площині, значить вони
компланарні і їх мішаний добуток дорівнює нулю, тобто
– рівняння площини яка проходить через три задані точки.

ПРЯМА В ПРОСТОРІ. ПЛОЩИНА
1. Різні рівняння площини
Рівняння площини у відрізках на осях
Нехай площина відтинає на осях координат Ох, Оу, Оz відповідно відрізки а, в, с, тобто проходить через точки
Підставимо координати цих точок в рівняння площини, яка проходить через три задані точки , отримаємо

ПРЯМА В ПРОСТОРІ. ПЛОЩИНА
1. Різні рівняння площини
Рівняння площини у відрізках на осях
Розкривши визначник, отримаємо
– рівняння площини у відрізках на осях.

ПРЯМА В ПРОСТОРІ. ПЛОЩИНА
2. Кут між двома площинами
Нехай
Косинус кута між цими векторами, а значить і між площинами, обчислюється за відомою формулою (скалярний добуток):

ПРЯМА В ПРОСТОРІ. ПЛОЩИНА
2. Кут між двома площинами

ПРЯМА В ПРОСТОРІ. ПЛОЩИНА
3. Відстань від точки до площини
до площини
Вона має вигляд:

ПРЯМА В ПРОСТОРІ. ПЛОЩИНА
4. Різні рівняння прямої лінії в просторі
Канонічне рівняння прямої в просторі
Побудуємо вектор

ПРЯМА В ПРОСТОРІ. ПЛОЩИНА
4. Різні рівняння прямої лінії в просторі
Канонічне рівняння прямої в просторі

ПРЯМА В ПРОСТОРІ. ПЛОЩИНА
4. Різні рівняння прямої лінії в просторі
Рівняння прямої, яка проходить через дві точки

ПРЯМА В ПРОСТОРІ. ПЛОЩИНА
4. Різні рівняння прямої лінії в просторі
Рівняння прямої, яка проходить через дві точки
Побудуємо вектори
– рівнянням прямої, яка проходить через дві задані точки.

ПРЯМА В ПРОСТОРІ. ПЛОЩИНА
4. Різні рівняння прямої лінії в просторі
Параметричне рівняння прямої
Позначимо значення відношень параметром
Останню систему називають параметричним рівнянням прямої.

ПРЯМА В ПРОСТОРІ. ПЛОЩИНА
4. Різні рівняння прямої лінії в просторі
Рівняння прямої, як лінія перетину двох площин
Розглянемо систему рівнянь
Кожне з цих рівнянь визначає площину, а лінією їх перетину є пряма L.
Рівняння (1) називають загальними рівняннями прямої.
Від рівнянь (1) можна перейти до канонічного рівняння прямої.

ПРЯМА В ПРОСТОРІ. ПЛОЩИНА
4. Різні рівняння прямої лінії в просторі
Рівняння прямої, як лінія перетину двох площин
Для цього необхідно знати координати направляючого вектора
якщо з площиною Оху, то в системі (1) покладають
якщо з площиною Охz, то
якщо з площиною Oyz, то

ПРЯМА В ПРОСТОРІ. ПЛОЩИНА
4. Різні рівняння прямої лінії в просторі
Рівняння прямої, як лінія перетину двох площин

ПРЯМА В ПРОСТОРІ. ПЛОЩИНА
5. Кут між двома прямими в просторі

ПРЯМА В ПРОСТОРІ. ПЛОЩИНА
5. Кут між двома прямими в просторі

ПРЯМА В ПРОСТОРІ. ПЛОЩИНА
6. Кут між прямою і площиною
Нехай пряму задано канонічним рівнянням
площину – рівнянням загального виду

ПРЯМА В ПРОСТОРІ. ПЛОЩИНА
7. Приклади розв’язання типових завдань
Приклад. Знайти рівняння площини, яка проходить через три точки
Розв’язання.
Це рівняння визначає площину, яка паралельна вісі Oz.

ПРЯМА В ПРОСТОРІ. ПЛОЩИНА
7. Приклади розв’язання типових завдань
Розв’язання.
По формулі якщо врахувати, що
одержимо:

ПРЯМА В ПРОСТОРІ. ПЛОЩИНА
7. Приклади розв’язання типових завдань
Розв’язання.
Відстань від точки до площини обчислюємо за формулою
в якій
Підставляючи ці значення у формулу одержимо

ПРЯМА В ПРОСТОРІ. ПЛОЩИНА
7. Приклади розв’язання типових завдань
Розв’язання.
Направляючий вектор цієї прямої обчислимо за формулою

ПРЯМА В ПРОСТОРІ. ПЛОЩИНА
7. Приклади розв’язання типових завдань
Покладемо z=0 і знайдемо розв’язок системи
Розв’язавши систему, маємо
і канонічне рівняння прямої запишеться у вигляді:

ПРЯМА В ПРОСТОРІ. ПЛОЩИНА
8. Запитання для самоконтролю
1.Записати загальне рівняння площини і дати геометричне пояснення коефіцієнтів при змінних в цьому рівнянні.
2. Записати рівняння площини у відрізках і дати геометричне пояснення коефіцієнтів в цьому рівнянні.
3. Записати рівняння площини, що проходить через три дані точки.
4. Записати нормальне рівняння площини і дати геометричне пояснення коефіцієнтів при змінних і вільному члену в цьому рівнянні.
5. Що називається відстанню від точки до площини і за яким правилом вона обчислюється?

ПРЯМА В ПРОСТОРІ. ПЛОЩИНА
8. Запитання для самоконтролю
6. Записати формулу косинуса кута між двома площинами. За допомогою яких міркувань із цієї формули одержуються умови паралельності, перпендикулярності двох площин?
7. Запишіть канонічне рівняння прямої в просторі. Який геометричний зміст мають сталі, що входять в це рівняння?
8. Записати рівняння прямої, яка проходить через дві дані точки.
9. Записати формулу косинуса кута між двома прямими. За допомогою яких міркувань із цієї формули одержуються умови паралельності, перпендикулярності двох прямих?