Радианная мера угла. Поворот точки вокруг начала координат. Определение тригонометрических функций

Цель урока. Обобщить понятие угла, дать понятие радианного измерения углов, научить учащихся переводить углы из градусной меры в радианную и обратно.
Кратко познакомить учащихся с историей возникновения тригонометрии, развитие которой происходило в связи с необходимостью решения вычислительных задач, выдвигавшихся астрономией, географией, геодезией. Обратить внимание учащихся на тот факт, что академик Петербургской Академии наук Л.Эйлер окончательно разработал символику тригонометрии, которой пользуются и в наши дни. Радианная мера угла появилась уже в трудах И.Ньютона и Г.Лейбница, но вошла в науку и практику вычислений благодаря трудам Л.Эйлера.

Вид занятия. Обобщения и систематизации знаний.
Изучение материала.
- Понятие единичной окружности.
- Определение радиана..
- Формулы перехода из радиан в градусы и обратно.
- Поворот точки вокруг начала координат.

Тригонометрическая окружность, единичная окружность.

Градусная и радианная мера угла.
Углы измеряются градусной и радианной мерами.
Рассмотрим единичную окружность.
Центральный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна R окружности называется углом в 1 радиан

Выясним, сколько градусов соответствует углу в 1 радиан.
l=2πR – это длина дуги окружности
πR – это длина дуги полуокружности, полуокружность соответствует центральному углу в 180°. Поэтому длина дуги длиной R стягивает угол в π раз меньший, т.е.
т.к π≈3,14, то 1 радиан = 57º 17' 45",
1º = 0, 017 радиана.

Для того, чтобы перейти от радианной меры к градусной нужно значение угла, заданного в
радианной мере угла умножить на ,
например:

2) Для того, чтобы перейти от градусной меры к радианной нужно значение угла, заданного в
радианной мере угла умножить на ,
например:

Запомни !
Отметим эти точки на единичной окружности

Самостоятельно

Поворот точки вокруг начала координат
1)Найти координаты точки единичной окружности, полученной поворотом точки (1;0) на угол:
2)На единичной окружности построить точку, полученную поворотом точки с координатами (1;0) на заданный угол:

На какой угол можно повернуться еще, чтобы попасть в эти точки?

Вывод. Одной и той же точке М на единичной окружности соответствует бесконечное множество действительных чисел α±2πn, где n – целое число.

Определение тригонометрических функций через стороны прямоугольного треугольника

История тригонометрии.
Тригонометрия – математическая дисциплина, изучающая зависимость между сторонами и углами треугольника.
Впервые способы решения треугольников, основанные на зависимостях между сторонами и углами треугольника, были найдены древнегреческими астрономами Гиппархом (2 в. до н. э.) и Клавдием Птолемеем (2 в. н. э.).
Позднее зависимости между отношениями сторон треугольника и его углами начали называть тригонометрическими функциями.

История тригонометрии.
История тригонометрии Зачатки тригонометрических познаний зародились в древности. На раннем этапе тригонометрия развивалась в тесной связи с астрономией и являлась ее вспомогательным разделом.

История тригонометрии.
Если мы понимаем под синусом угла α в прямоугольном треугольнике ОВС отношение катета ВС (линия синуса) к гипотенузе OC (т.е. радиусу единичной окружности), то в середине века термином «синус» обозначали саму линию синуса BC.

История тригонометрии.
Окончательный вид тригонометрия приобрела в XVIII веке в трудах Л. Эйлера.

История тригонометрии.
Леонард Эйлер (1707-83), российский ученый — математик, механик, физик и астроном. По происхождению швейцарец. В 1726 был приглашен в Петербургскую АН и переехал в 1727 в Россию. Был адъюнктом (1726), а в 1731-41 и с 1766 академиком Петербургской АН (в 1742-66 иностранный почетный член). В 1741-66 работал в Берлине, член Берлинской АН. Эйлер — ученый необычайной широты интересов и творческой продуктивности. Автор св. 800 работ по математическому анализу, дифференциальной геометрии, теории чисел, приближенным вычислениям, небесной механике, математической физике, оптике, баллистике, кораблестроению, теории музыки и других, оказавших значительное влияние на развитие науки.