Погрешности измерений. Лекция 3

Классификация погрешностей
По способу числового выражения: абсолютные и относительные погрешности.
В зависимости от источника возникновения: инструментальные, методические, отсчитывания и установки.
По закономерностям проявления: систематические, прогрессирующие, случайные и грубые.
Абсолютная погрешность измерения - погрешность измерения, выраженная в единицах измеряемой величины.
Абсолютная погрешность Δ – это разность между измеренным и истинным значениями измеряемой величины , на практике
Относительная погрешность измерения - погрешность измерения, выраженная отношением абсолютной погрешности измерения к опорному значению измеряемой величины:

Инструментальная погрешность измерения - составляющая погрешности измере-ния, обусловленная погрешностью применяемого средства измерений.
Они принадлежат данному средству измерений, могут быть определены при его испытаниях и занесены в его паспорт.
Эти погрешности обусловлены конструктивными и технологическими недостат-ками средств измерений, а также следствием их износа, старения или неисправности.
Погрешность метода измерений - составляющая погрешности измерений, обусловленная несовершенством принятого метода измерений.
Методические погрешности могут возникать из-за несовершенства физической модели явлений, положенных в основу метода измерений, неточности соотношений, используемых для нахождения оценки измеряемой величины, а также из-за несоответствия измеряемой величины и ее модели.
Пример: Измеряем падение напряжения на резисторе R2 вольтметром.
Отличительная особенность методических погрешностей в том, что они не могут быть указаны в паспорте прибора, а должны оцениваться самим экспериментатором при организации выбранной методики измерений, поэтому он обязан четко разли-чать фактически измеряемую им величину от подлежащей измерению.

Погрешность отсчитывания происходит от недостаточно точного отсчитывания показаний. Она обусловлена субъективными особенностями наблюдателя и вида отсчетного устройства
Погрешности отсчитывания отсутствуют при использовании цифровых измерительных приборов.
Погрешность установки вызывается отклонением условий измерения от нор-мальных, т. е. условий, при которых производилась градуировка и поверка средств измерений. Сюда относится, например, погрешность от неправильной установки прибора в пространстве или его указателя на нулевую отметку, от изменения темпе-ратуры, напряжения питания и других влияющих величин.

По закономерностям проявления: систематические, прогрессирующие, случайные и грубые.
Систематическая погрешность измерения - составляющая погрешности измерения, остающаяся постоянной или же закономерно изменяющаяся при повторных измерениях одной и той же величины.
Особенность систематических погрешностей состоит в том, что зависимость их от влияющих величин подчиняется определенному закону.
Наличие исключенных систематических погрешностей определяет правильность измерений, качество, отражающее близость к нулю систематических погрешностей.
Причины возникновения: несовершенство используемых средств и методов измерений, неправильная установка СИ, влияние внешних факторов на параметры СИ и на объект измерения и др.
В зависимости от характера изменения во времени разделяются на: постоянные, прогрессирующие, периодические и погрешности, изменяющиеся по сложному закону.
Постоянные - погрешности, которые в течение длительного времени, например, в течение времени выполнения всего ряда измерений, остаются постоянными (или неизменными). Они встречаются наиболее часто.
Примеры: погрешности, обусловленные неточностью подгонки значения меры, неправильной градуировкой шкалы прибора и др.

Прогрессирующие погрешности — непрерывно возрастающие или убывающие погрешности.
Как правило, вызываются процессами старения тех или иных деталей аппаратуры (разрядка источников питания, старение резисторов, конденсаторов, деформация механических деталей, усадка бумажной ленты в самопишущих приборах и т. п.).
Пример: погрешности вследствие износа измерительных наконечников, контакти-рующих с деталью при контроле ее прибором активного контроля.
Могут быть скорректированы путем введения поправки лишь в заданный момент времени, а далее вновь непредсказуемо возрастают или убывают.
Периодические погрешности — погрешности, значение которых является пери-одической функцией времени или перемещения указателя измерительного прибора.
Пример: погрешность возникающая при круговой шкале, если её ось не совпадает с осью вращения.
Погрешности, изменяющиеся по сложному закону, происходят вследствие совмес-тного действия нескольких систематических погрешностей.
В зависимости от характера изменения по диапазону измерений систематические погрешности подразделяются на постоянные и пропорциональные.
Пропорциональные погрешности - погрешности, значение которых пропорцио-нально значению измеряемой величины.

Поправка -значение величины, вводимое в неисправленный результат измерения с целью исключения составляющих систематической погрешности.
Знак поправки противоположен знаку погрешности
Различают: неисправленный и исправленный результат измерения.
Неисправленный результат измерения - значение величины, полученное при изме-рении до введения в него поправок, учитывающих систематические погрешности.
Исправленный результат измерения - полученное при измерении значение вели-чины и уточненное путем введения в него необходимых поправок на действие систе-матических погрешностей.
Случайная погрешность измерения - составляющая погрешности измерения, изме-няющаяся случайным образом (по знаку и значению) при повторных измерениях, проведенных в определенных условиях.
Обнаруживаются случайные погрешности при многократных измерениях одной и той же величины (отдельные измерения в этом случае называются наблюдением) од-ними и теми же средствами измерения в одинаковых условиях одним и тем же наблю-дателем, т. е. при равноточных (равнорассеянных) измерениях. Влияние случайных погрешностей на результат измерения учитывается методами математической ста-тистики и теории вероятности.
Грубая погрешность измерений – случайная погрешность измерений, существенно превышающие ожидаемые при данных условиях погрешности.
Как правило, результаты измерений, содержащие грубые погрешности, не принима-ются во внимание, поэтому грубые погрешности мало влияют на точность измерения.
Погрешность измерения равна сумме случайной и систематической погрешностей.

Вероятностный подход к описанию погрешностей
Законы распределения случайных погрешностей.
Случайные погрешности обнаруживают при проведении ряда измерений одной и той же величины. При правильном проведении измерений, достаточном их числе и исключении систематических погрешностей и промахов можно утверждать, что истин-ное значение измеряемой величины не выходит за пределы значений, полученных при этих измерениях. Оно остается неизвестным до тех пор, пока не определено теорети-чески вероятное значение случайной погрешности.
Пусть величину Х измеряли п раз и наблюдали при этом значения х1, х2, х3,…, хn. Случайная абсолютная погрешность единичного измерения будет равна:
Распределение результатов измерений

При достаточно большом числе п одни и те же погрешности повторяются и можно установить относительную частоту (частость) их появления.
Частость - отношение числа полученных одинаковых данных mi к общему числу проведенных измерений п.
При продолжении измерений величины Х эта частота не изменится, поэтому ее можно считать вероятностью появления погрешности при данных измерениях:
Статистическая зависимость вероятности появления случайных погрешностей от их значения называется законом распределения погрешностей или законом распреде-ления вероятности.
Различают два вида описания законов распределения: интегральный и дифференциальный.
Интегральный закон, или функция распределения вероятностей случайной погрешности Δi в i-м опыте - функция, значение которой для каждого Δ определяется вероятностью события , заключающегося в том, что случайная погрешность Δi принимает значения, меньше некоторого значения Δ, т. е. функцию .
Эта функция при изменении Δ от -∞ до +∞ принимает значения от 0 до 1 и является неубывающей (рис. 1а). Она существует для всех случайных величин как дискретных, так и непрерывных.

а б в
Рис. 1
Если симметрична относительно точки Х, соответствующей вероятности 0,5, то распределение результатов наблюдения будет симметрично относительно истинного значения Х. В этом случае целесообразно сдвинуть по оси абсцисс на значение
, т. е. исключить систематическую составляющую погрешность и получить функцию распределения случайной составляющей погрешности. (рис. 1б). Функция распределения вероятности погрешности Δ отличается от функции распределения вероятности случайной составляющей погрешности только сдвигом по оси абсцисс на значение систематической составляющей погрешности .

Дифференциальный закон распределения вероятностей для случайной погрешнос-ти с непрерывной и дифференцируемой функцией распределения называют функцию:
Эта зависимость представляется плотностью распределения вероятностей. Ее график может иметь различную форму в зависимости от закона распределения пог-решностей. Для (рис. 1б) кривая распределения имеет форму, близкую к форме колокола (рис. 1в).
Значение есть элемент вероятности, равный площади прямоугольника с основанием и абсциссами Δ1 , Δ2, называемыми квантилями.
Площадь под кривой равна единице и отражает вероятность всех возможных событий.
В практике измерений одним из наиболее распространенных законов распределе-ния случайных погрешностей является нормальный закон (Гаусса):
- плотность вероятности случайной погрешности;
-среднее квадратическое отклонение.

Среднее квадратическое отклонение может быть выражено через случайные откло- нения результатов наблюдений Δi
Чем меньше тем чаще встречаются малые случайные погрешности, т. е. тем точнее выполнены измерения.

Основными характеристиками законов распределения являются математическое ожидание и дисперсия.
Математическое ожидание случайной величины – это значение, вокруг которого группируются результаты отдельных наблюдений. Математическое ожидание дис-кретной случайной величины М[X] определяется как сумма произведений всех воз-можных значений случайной величины на вероятность этих значений
Для непрерывных случайных величин
f(x) – функция плотности вероятности.
Для нормального распределения случайных погрешностей математическое ожида-ние равно нулю. Если же рассматривать нормальное распределение результатов, то ма-тематическое ожидание будет соответствовать истинному значению измеряемой величины Х.
Дисперсия ряда наблюдений характеризует степень рассеивания (разброса) результатов отдельных наблюдений вокруг математического ожидания:

Чем меньше дисперсия, тем точнее выполнены измерения. Дисперсия выражается в квадратных единицах измеряемой величины. В качестве характеристики точности ряда наблюдений применяют среднее квадратическое отклонение (СКО)
При проведении n измерений погрешность будет различной
где - погрешность i-го измерения; -результат i-го измерения.
При практических расчетах используется оценка истинного значения - среднее арифметическое значение ряда измерений:
Отклонение результата каждого измерения от среднего значения определяется как:
vi – отклонение результата единичного измерения от среднего значения.

Затем вычисляют оценку значения средней квадратической погрешности для данного ряда измерений
При достаточно большом числе измерений, имеющих независимые случайные пог-решности, оценка S сходится по вероятности к . Таким образом,
Так как среднее арифметическое значение также является случайной величиной, введено понятие среднеквадратического отклонения среднего арифметического значения .

При оценке результатов измерений используется понятие максимальной или предель-ной допустимой погрешности, значение которой определяют в долях или S. Есть разные критерии установления максимальной погрешности, т. е. границы поля допуска ±Δ, в которые случайные погрешности должны уложиться. Критерий максимальной погрешности (или 3S).
Понятия доверительной вероятности и доверительного интервала.
Пусть РД есть вероятность того, что отличается от Х не более чем на Δ, т. е.
Вероятность РД называется доверительной вероятностью, а интервал значений изме-ряемой величины от до - доверительным интервалом.
Это означает что доверительный интервал от до заключает в себе истинное значение Х.
Для достаточно полной характеристики случайной погрешности надо располагать двумя числами – доверительной вероятностью и соответствующим ей доверительным интервалом.
Если закон распределения вероятностей погрешностей известен, то по заданной дове-рительной вероятности можно определить доверительный интервал. При достаточно большом числе измерений часто используется нормальный закон. При небольшом числе измерений, результаты которых принадлежат нормальному распределению, следует ис-пользовать распределение Стьюдента. Это распределение имеет плотность вероятнос-тей, практически совпадающую с нормальной при больших п, но значительно отличающуюся от нормальной при малых п.

В таблице приведены так называемые квантили распределения Стьюдента ⏐t(n)⏐Рд для числа измерений n = 2….20 и доверительных вероятностей РД = 0,5…0,999
.