Построения циркулем и линейкой

Построения циркулем и линейкой
Тимербаева Н.В.,
кпн, доцент кафедры теории и технологий преподавания математики и информатики Института математики и механики
Лекция 1

В задачах на построение на плоскости фигуру F мы считаем построенной, если эта фигура, изображена (начерчена).
Вообще, строгого определения этому понятию - построить - не дается.
Основные требования, которыми характеризуется это понятие, перечисляются в аксиомах; которыми мы пользуемся при решении любой задачи на построение.

Аксиомы конструктивной геометрии
А1. Каждая данная фигура F построена.
А2. Если построены фигуры F1 и F2, то построено и объединение этих фигур.
А3. Если: F1 и F2 построены, то можно установить является ли их пересечение пустым множеством или нет. Если пересечение данных фигур не пусто, то оно построено.
А4. Можно построить точку, принадлежащую данной фигуре.
А5. Можно построить точку, не принадлежащую данной фигуре (если она не совпадает со всей плоскостью).
Аксиомы А1 – А5 называют общими аксиомами конструктивной геометрии. Этими аксиомами пользуются при решении задач с использованием любых средств построения.

В классической теории геометрических построений на плоскости (и в школьном курсе геометрии) допустимыми средствами построения являются циркуль и линейка. При этом имеется в виду идеальные циркуль и линейка (без делений). Конструктивные возможности этих абстрактных инструментов опять-таки указываются в аксиомах.
А7. Если А и В (отличные друг от друга) построены, то можно построить луч АВ (аксиома линейки).
А8. Если построены точка О и отрезок АВ, то можно построить окружность (О, АВ) (аксиома циркуля).
Аксиомы А1 – А8 называются системой аксиом построения с помощью циркуля и линейки. Эта система аксиом позволяет выполнить на плоскости следующие, так называемые, простейшие построения:

Простейшие построения
П1. Построить отрезок АВ, если А и В построены.
Решение задачи на построение мы сводим к перечисленным аксиомам и простейшим построениям П1-П4. Но в случае сколько-нибудь сложных задач мы можем получить большое число логических «шагов».
Если найдено решение какой-либо задачи, то в дальнейшем разрешается пользоваться этим решением в целом, не расчленяя его на простейшие построения. Существует целый рад геометрических задач на построение, которые особенно часто входят в качестве составных частей в решение более сложных задач. Задачи такого рода рассматриваются уже в первых главах школьного курса.
П2. Построить прямую АВ, если А и В построены.
П3. Построить точку пересечения двух данных непараллельных прямых.
П4. Построить точки пересечения данных прямой и окружности, если они существуют.

Перечислим эти, так называемые, основные (элементарные) построения, которые наиболее часто встречаются в практике решения задач на построение, снабдив их поэтапной инструкцией построения (в дальнейшем, при решении задач этапы основных построений не описываются).
О1. Построение отрезка, равного данному.
Дано: отрезок длины а.
Построить: отрезок АВ длины а.
Основные построения
Построение.

О2. Построение угла, равного данному.
Построение.
C
D
K
Обоснование.
В равных фигурах соответствующие элементы равны.

О3. Деление отрезка пополам (построение середины отрезка).
О3. Деление отрезка пополам (построение середины отрезка).
Дано: отрезок АВ.
Построить: точку О – середину АВ.
Построение.
O
D
C
Обоснование.
В ромбе диагонали точкой пересечения делятся пополам.

О4. Деление угла пополам (построение биссектрисы угла).
О4. Деление угла пополам (построение биссектрисы угла).
Дано: угол АВС.
Построить: ВD – биссектрису угла АВС.
Построение.
K
L
D
Обоснование.
В ромбе диагонали являются биссектрисами соответствующих углов.

О5. Построение перпендикуляра к данной прямой, проходящей через данную точку.
B
C
A
a
Построение.
D
Обоснование.
- равнобедренный.
В равнобедренном треугольнике медиана, опущенная на основание,
является высотой.

А
a
B
C
Построение.
D
Обоснование.
В ромбе диагонали взаимно-перпендикулярны.

I способ (через два перпендикуляра).
Построение.
a
А
b
c
Обоснование.

II способ (через параллелограмм).
a
А
B
C
D
Обоснование.
По признаку: четырехугольник, в котором стороны попарно равны,
является параллелограммом.
В параллелограмме противоположные стороны параллельны
(по определению).

О7. Построение треугольника по трем сторонам.
Дано: отрезки длины a, b, c.
Построить: треугольник ABC.
Построение.
C
B
Обоснование.

Построение.
C
К
B
Обоснование.

Построение.
C
К
B
N
Обоснование.

Построение.
C
К
B
a
Обоснование.
По признаку равенства прямоугольных треугольников.

О11. Построение прямоугольного треугольника по гипотенузе и катету.
Дано: отрезки длины b и c.
Построить: прямоугольный треугольник ABC.
Построение.
C
B
n
Обоснование.
По признаку равенства прямоугольных треугольников.

Построение.
1. ОА.
5. AM, AN – искомые.
M
N
Обоснование.

МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НА ПОСТРОЕНИЕ
Каждая фигура, удовлетворяющая условию задачи, называется решением этой задачи.
Найти решение задачи на построение – значит, свести ее к конечному числу простейших и основных построений. При этом может оказаться, что задача на построение имеет несколько различных решений.
Решить задачу – значит найти все ее решения. Для этого нужно:
а) установить конечное число случаев, исчерпывающих все возможности в выборе данных;
б) для каждого случая дать ответ – имеет ли задача решение и сколько этих решений.

При решении каждой сколь-нибудь сложной задачи возникает вопрос – как нужно рассуждать, чтобы найти способ построения искомой фигуры, выяснить – сколько решений и т.д.
Решение всех этих вопросов облегчается, если придерживаться определенной схемы: анализ, построение, доказательство, исследование.
При этом конечно, возможны отклонения от этой схемы. Например, если знаем как строить искомую фигуру, то никакой анализ не нужен.
АНАЛИЗ.
Анализ – это поиск способа решения задачи. В анализе мы находим те зависимости, которые имеют место между элементами данной и искомой фигур. Анализ – подготовительный, предварительный этап решения задачи.

ПОСТРОЕНИЕ состоит в том, чтобы указать последовательность простейших и основных построений, которые надо выполнить для решения задачи. Построение должно сопровождаться графическим выполнением каждого шага с помощью инструментов, принятых для построения.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО имеет целью установить, что построенная фигура действительно удовлетворяет всем условиям задачи.
ИССЛЕДОВАНИЕ. Отвечаем на вопросы:
а) при любом ли выборе данных задача имеет решение?
б) сколько различных решений имеет задача при каждом возможном выборе данных?