Міри центральної тенденції

План
Мода та її обчислення.
Медіана та її обчислення.
Середнє арифметичне: обчислення та властивості.
Інтерпретація мір центральної тенденції. Вибір міри центральної тенденції.

Первинні методи кількісної обробки даних
До основних методів первинної статистичної обробки відносяться обчислення:
мір центральної тенденції
мір розкиду (мінливості) даних та квантилі розподілу.

1) яке значення найбільш характерне для вибірки?
2) чи великий розкид даних щодо цього характерного значення, тобто яка варіативність даних?
Міри центральної тенденції
Міри мінливості (розкиду)

Міри центральної тенденції

Мода – це значення у множині спостережень, яке зустрічається найчастіше
Аналiзується сукупнiсть статистичних даних
X1, X2, . . . , Xn.
Модою цих даних називають значення, яке зустрічається в сукупностi найчастiше. Позначається мода: Mo.
Мода – не завжди єдине значення. В окремих випадках мода може складатися з кiлькох чисел, якi зустрiчаються однакову кiлькiсть разiв (але найчастiше).

При визначенні моди необхідно дотримуватись таких вимог:
1. Якщо в даних всі значення зустрічаються однаково часто, кажуть, що в них немає моди: (1, 2, 3, 4)
Наприклад:
2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5 – моди немає

При визначенні моди необхідно дотримуватись таких вимог:

При визначенні моди необхідно дотримуватись таких вимог:
3. Якщо два несусідні значення мають однакову частоту, то кажуть, що в даних є дві моди, а ряд даних називається бімодальним:
Наприклад:
Мо (1, 1, 1, 2, 3, 4, 5, 5, 5) = 1 та 5
Мо (10 11 11 11 12 13 14 14 14 17) = 11 и 14

Приклад
Студенти академiчної групи отримали настпуні оцiнки на екзаменi.
Оцiнку “2” на екзаменi у групi отримали 2 студенти, оцiнку “3” – 3, оцiнку “4” – 2, оцiнку “5” – 4.
Отже, найбiльше студентiв отримали оцiнку “5” i саме вона є модою цiєї сукупностi: Mo = 5.

Приклад
Припустимо, маємо тест з 40 питань для визначення типу темпераменту у людини за встановленою методикою.
Нехай за цiєю методикою опитано деяку людину.
Модою цих даних є тип “флегматик”, оскільки вiн найчастiше зустрiчається у вiдповiдях. Отже, цей тип переважає в характерi опитаного.

Приклад
Розглянемо результати соцiологiчного дослiдження, здiйсненого з метою встановлення середньої кiлькостi дiтей у сiм’ї. Загалом було опитано 84 сiм’ї. Отримані наступні результати опитування.
У цьому разi моду дослiджуваної групи сiмей утворюють значення 1 i 2: Mo = {1; 2}.

Медіана
значення, яке перебуває на середині упорядкованої послідовності емпіричних даних.
це значення, яке ділить упорядковану множину даних навпіл, так що одна половина даних виявляється меншою за медіану, а друга – більшою.

При визначенні медіани необхідно дотримуватись таких вимог:
1) якщо кількість спостережень у вибірці непарне, то медіана дорівнює значенню, розташованому точно посередині впорядкованої вибірки.
Наприклад: 11, 13, 18, 19, 20 Ме=18
Якщо обсяг вибірки невеликий, то медіану легко знайти за варіаційним рядом.

При визначенні медіани необхідно дотримуватись таких вимог:

Наприклад
У результаті тестування відомі IQ-індекси шістьох співробітників компанії.

Середнє арифметичне

Наприклад

Приклад
Обчислити моду, медіану і середнє значення вибірки, поданої у вигляді статистичного розподілу:
1) модою є таке значення xi, частота котрого nі є максимальною:
Мо=7, оскільки це значення зустрічається найчастіше (4 рази);

Розв’язання
2) для визначення медіани спочатку визначимо, скільки значень містить вибірка: n=15 – непарне. Тоді медіаною буде значення, що розташоване посередині ряду, номер якого дорівнює
і=(n+1)/2=(15+1)/2=8
Починаємо послідовно складати частоти ni, поки не дістанемось потрібного елемента:
n1+n2+n3=3+1+3=7
Значить наступним 8 елементом буде значення вибірки, що дорівнює 5.
Ме=Х8=5

Розв’язання
3) для визначення середнього значення потрібно кожне значення хі помножити на його частоту nі, добуток скласти і поділити на об’єм вибірки n:

Особливості мір центральної тенденції
мода вибірки обчислюється просто, її можна визначити «на око». Для дуже великих груп даних мода є досить стабільною мірою центру розподілу;
медіана займає проміжне положення між модою і середнім з погляду її підрахунку. Ця міра особливо легко визначається у разі ранжованих даних;
середнє арифметичне передбачає використовування всіх значень вибірки, причому всі вони впливають на значення цієї міри. Зазвичай вибіркове середнє застосовується при прагненні до найбільшої точності у визначенні центральної тенденції.

Особливості мір центральної тенденції
Медіана обчислюється в тому випадку, коли у серії є «нетипові» дані, що різко впливають на середнє.
Мода використовується в ситуаціях, коли не потрібна висока точність, але важлива швидкість визначення міри центральної тенденції.
Обчислення всіх трьох показників проводиться також для оцінки розподілу даних. При нормальному розподілі даних середнє арифметичне значення, медіана і мода однакові або дуже близькі.

Поради, щодо визначення мір центральної тенденції
1. Моду та медіану обчислити найпростіше.
2. В малих групах мода нестабільна:
Мо(1, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 5)=3; Мо(1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 4)=4
3. На медіану не впливають величини крайніх значень ряду даних.

Поради, щодо визначення мір центральної тенденції
4. На величину середнього арифметичного впливають значення кожного елементу ряду. Порівняння мір центральної тенденції в рядах, що відрізняються одним значенням

Поради, щодо визначення мір центральної тенденції