ТВиМС_Лекция 3_Повторные независимые испытания

На практике часто проводятся серии экспериментов, независимых относительно некоторого события А. Это означает, что вероятность наступления события А в каждом отдельном эксперименте не зависит от исходов других экспериментов серии. В результате каждого эксперимента событие А может либо наступить, либо не наступить. Пусть вероятность наступления события А для всех экспериментов серии одинакова и равна p. Значит, вероятность наступления противоположного события Ā тоже постоянна для всех экспериментов серии и равна q = 1 − p. Поставим задачу: найти вероятность того, что в серии из n независимых испытаний событие А наступило ровно m раз и, следовательно, не наступило n − m раз.
2
Пролог
Лекция 3. Повторные независимые испытания

§1. Формула Бернулли
Теорема.
Вероятность того, что событие А наступит m раз в n независимых испытаниях равна
Доказательство.
3
Лекция 3. Повторные независимые испытания

Пример 1
Эксперимент: выбрать наугад деталь для проверки
качества.
Событие А : выбрана бракованная деталь.
n=5 – число выбранных для проверки деталей (число всех проведённых экспериментов).
m=3 – число бракованных деталей среди отобранных на проверку (число наступлений события А).
4
Лекция 3. Повторные независимые испытания
Ответ: ≈0,05

5
Лекция 3. Повторные независимые испытания
Якоб Бернулли
(1655-1705)
Формула Бернулли названа в честь её автора – выдающегося математика, одного из основателей теории вероятностей и математического анализа Якоба Бернулли.
Он является старшим представителем знаменитой швейцарской династии учёных.
§1. Формула Бернулли

Определение.
Наивероятнейшим числом наступления события А в серии n независимых экспериментов называется число m0 для которого вероятность наступления события А не меньше чем для остальных событий серии экспериментов и определяется условием
Доказательство.
6
Лекция 3. Повторные независимые испытания
§1. Формула Бернулли

Доказательство.
7
Лекция 3. Повторные независимые испытания
§1. Формула Бернулли

Пример 2
8
Ответ: от 14 до 19
Лекция 3. Повторные независимые испытания
Эксперимент: выбрать наугад деталь для проверки
качества.
Событие А : выбрана бракованная деталь.
n=? – число выбранных для проверки деталей (число всех проведённых экспериментов).
m0=3 – наивероятнейшее число бракованных деталей среди отобранных на проверку (наивероятнейшее число наступлений события А).

§2. Формула Пуассона
Теорема.
Если при неограниченном увеличении числа испытаний n вероятность р наступления события А в каждом испытании стремится к нулю, а произведение np стремится к постоянному числу λ , то вероятность того, что событие А наступит m раз в n независимых испытаниях удовлетворяет равенству
При постоянных и малых p, когда λ = np 10 из теоремы вытекает формула Пуассона
9
Лекция 3. Повторные независимые испытания

Доказательство.
10
Лекция 3. Повторные независимые испытания
§2. Формула Пуассона

Пример 3
Эксперимент: выбрать наугад деталь для проверки
качества.
Событие А : выбрана бракованная деталь.
n=50 – число выбранных для проверки деталей (число всех проведённых экспериментов) – велико.
m=3 – число бракованных деталей среди отобранных на проверку (число наступлений события А).
11
Лекция 3. Повторные независимые испытания
Ответ: ≈0,06

12
Лекция 3. Повторные независимые испытания
Симеон Дени Пуассон
(1781-1840)
В 1837 году была опубликована работа французского математика Пуассона «Исследования о вероятности приговоров в уголовных и гражданских делах».
В ней было введено дискретное распределение с плотностью вероятности
§2. Формула Пуассона

§3. Локальная теорема Муавра-Лапласа
Теорема.
Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна, отлична от 0 и 1, то вероятность того, что событие А наступит m раз в n независимых испытаниях при достаточно большом числе n, приближённо равна
где - функция Гаусса,
13
Лекция 3. Повторные независимые испытания

§3. Локальная теорема Муавра-Лапласа
Свойства функции Гаусса :
Замечание 1.
Замечание 2.
14
Лекция 3. Повторные независимые испытания

Пример 4
Эксперимент: выбрать наугад деталь для проверки
качества.
Событие А : выбрана бракованная деталь.
n=200 – число выбранных для проверки деталей (число всех проведённых экспериментов) – велико.
m=20 – число бракованных деталей среди отобранных на проверку (число наступлений события А).
15
Лекция 3. Повторные независимые испытания
Ответ: ≈0,01%

16
Лекция 3. Повторные независимые испытания
Абрахам де Муавр
(1667-1754)
Английский математик французского происхождения Абрахам де Муавр в 1738 году во втором издании работы «Доктрина случайностей» впервые ввёл функцию нормального распределения и доказал первый частный случай центральной предельной теоремы.
§3. Локальная теорема Муавра-Лапласа

17
Лекция 3. Повторные независимые испытания
Пьер Симон Лаплас
(1749-1827)
Большинство результатов де Муавра вскоре были перекрыты трудами французского математика Пьера Симона, маркиза де Лапласа. После обобщения Лапласом в 1812 году теорема получила название теоремы Муавра-Лапласа. Степень возможного влияния де Муавра на Лапласа неясна.
§3. Локальная теорема Муавра-Лапласа

§4. Интегральная теорема Муавра-Лапласа
Теорема.
Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна, отлична от 0 и 1, то вероятность того, что число m наступлений события А в n независимых испытаниях заключено в диапазоне от a до b, при достаточно большом числе n приближённо равна
где − функция Лапласа,
18
Лекция 3. Повторные независимые испытания

Свойства функции Лапласа :
Замечание 1.
Замечание 2.
19
Лекция 3. Повторные независимые испытания
§4. Интегральная теорема Муавра-Лапласа

Пример 5
Эксперимент: выбрать наугад деталь для проверки
качества.
Событие А : выбрана бракованная деталь.
n=200 – число выбранных для проверки деталей (число всех проведённых экспериментов) – велико.
– число бракованных деталей среди отобранных на проверку (число наступлений события А)
20
Лекция 3. Повторные независимые испытания

Пример 5
21
Лекция 3. Повторные независимые испытания
Ответ: ≈0,02%

§5. Следствия интегральной теоремы
22
Лекция 3. Повторные независимые испытания
Следствие 1.
Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна, отлична от 0 и 1, m – число наступлений события А в серии n независимых испытаний, то при достаточно большом значении n при ε>0 справедливо приближённое равенство

Пример 6
Эксперимент: выбрать наугад деталь для проверки
качества.
Событие А : выбрана бракованная деталь.
n=200 – число выбранных для проверки деталей (число всех проведённых экспериментов) – велико.
– число бракованных деталей среди отобранных на проверку (число наступлений события А)
23
Лекция 3. Повторные независимые испытания

Пример 6
24
Лекция 3. Повторные независимые испытания
Ответ: ≈0,08

25
Лекция 3. Повторные независимые испытания
Следствие 2.
Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна, отлична от 0 и 1, m – число наступлений события А в серии n независимых испытаний, то при достаточно большом значении n справедливо приближённое равенство
где – частость события А,
§5. Следствия интегральной теоремы

Пример 7
Эксперимент: выбрать наугад деталь для проверки
качества.
Событие А : выбрана бракованная деталь.
n=200 – число выбранных для проверки деталей (число всех проведённых экспериментов) – велико.
– доля бракованных деталей среди
отобранных на проверку (частость события А).
26
Лекция 3. Повторные независимые испытания

Пример 7
27
Лекция 3. Повторные независимые испытания
Ответ: ≈0,02%

28
Лекция 3. Повторные независимые испытания
Следствие 3.
Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна, отлична от 0 и 1, m – число наступлений события А в серии n независимых испытаний, то при достаточно большом значении n при ε>0 справедливо приближённое равенство
где – частость события А.
§5. Следствия интегральной теоремы

Пример 8
Эксперимент: выбрать наугад деталь для проверки
качества.
Событие А : выбрана бракованная деталь.
n=200 – число выбранных для проверки деталей (число всех проведённых экспериментов) – велико.
– доля бракованных деталей среди
отобранных на проверку (частость события А).
29
Лекция 3. Повторные независимые испытания

Пример 8
30
Лекция 3. Повторные независимые испытания
Ответ: ≈100%