Основные методы решения показательных уравнений, 11 класс, подготовка к ЕГЭ

тепловое расширение рельса;
месячная прибыль предприятия.
Задачи, решаемые при помощи графика линейной функции (прямой):

Задачи, решаемые при помощи графика квадратичной функции (параболы):
мальчик, камешки, колодец;
выручка предприятия при наибольшей цене;
мяч, подброшенный вверх;
скорость вращения ведёрка;
частичное вытекание воды из бака;
полное вытекание воды из бака;

камнеметательная машина;
нагревание прибора;
время проверки работы лебёдки;
мотоциклист в зоне сотовой связи;
торможение автомобиля;
момент инерции вращающейся катушки.
Задачи, решаемые при помощи графика квадратичной функции (параболы):

Деталью некоторого прибора является вращающаяся катушка. Она состоит из трёх однородных соосных цилиндров: центрального массой m = 8 кг и радиуса R = 5 см, и двух боковых с массами M = 2 кг и с радиусами R + h. При этом момент инерции катушки относительно оси вращения, выражаемый в кг· см2 , даётся формулой
.
При каком максимальном значении h момент инерции катушки не превышает предельного значения 1900 кг· см2 ? Ответ выразите в сантиметрах.
Задание B11

Решение.
Данные:
Функция:
Найти: hмах
Схематичный график:
1900
hmax
Задание B11

Решение.
1900
hmax
Решаем уравнение:
Ответ:
25.
Задание B11

Автомобиль, движущийся в начальный момент времени со скоростью v0 = 24 м/с, начал торможение с постоянным ускорением a = 3 м/с2. За t секунд после начала
торможения он прошёл путь (м). Определите
время, прошедшее от момента начала торможения, если известно, что за это время автомобиль проехал 90 метров. Ответ выразите в секундах.
Задание B11

Функция:
Данные:
Найти:
Схематичный график:
90
tнаим.
Задание B11

Решаем уравнение:
Решение.
Функция:
Схематичный график:
90
tнаим.
Ответ:
6.
Задание B11

Мотоциклист, движущийся по городу со скоростью v0 = 57 км/ч, выезжает из него и сразу после выезда начинает разгоняться с постоянным ускорением a = 12 км/ч2. Расстояние от мотоциклиста до города, измеряемое в километрах, определяется выражением
. Определите наибольшее
время, в течение которого мотоциклист будет находиться в зоне функционирования сотовой связи, если оператор гарантирует покрытие на расстоянии не далее чем в 30 км от города. Ответ выразите в минутах.
Задание B11
Нет зоны действия сети
30 км

Функция:
Данные:
Найти:
Схематичный график:
30
tнаиб.
Задание B11
Ответ: 30

Задание B11
Зависимость температуры (в градусах Кельвина) от времени для нагревательного элемента некоторого прибора была получена экспериментально и на исследуемом интервале температур определяется выражением T(t) = T0 + bt + at2 , где t — время в минутах, T0 = 1450 К, a = - 12,5 К/мин2 , b = 175 К/мин. Известно, что при температуре нагревателя свыше 1750 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключать. Определите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключать прибор. Ответ выразите в минутах.
Пирометр — прибор для беcконтактного измерения температуры тел.

Данные:
Функция:
Найти:
Схематичный график:
1750
tнаиб.
Необходимоотключить
Задание B11

Решаем уравнение:
Решение.
Функция:
Найти:
Схематичный график:
1750
tнаиб.
Необходимоотключить
Ответ:
2.
Задание B11

Камнеметательная машина выстреливает камни под некоторым острым углом к горизонту. Траектория полёта камня описывается формулой y = ax2 + bx ,
где м-1, — постоянные параметры,
x (м) — смещение камня по горизонтали, y (м) — высота камня над землёй. На каком наибольшем расстоянии (в метрах) от крепостной стены высотой 9 м нужно расположить машину, чтобы камни пролетали над стеной на высоте не менее 1 метра?
Задание B11

Функция:
Данные:
Найти:
Схематичный график:
10
xнаиб.
Задание B11

Решение.
Функция:
Найти:
Схематичный график:
10
xнаиб.
Ответ:
60.
Решаем уравнение:
Задание B11

Задание B11

Задание B11
Функция:
Данные:
Найти:
Схематичный график:
tвытекания
H=0

Задание B11
Решение.
Функция:
Решаем уравнение:
Найти:
Схематичный график:
tвытекания
H=0
Ответ:
10.

В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплён кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нём, выраженная в метрах, меняется по закону
, где t — время в секундах,
прошедшее с момента открытия крана, —
отношение площадей поперечных сечений крана и бака, Н0 = 5 м — начальная высота столба воды, а g — ускорение свободного падения (считайте g = 10 м/с2). Через сколько секунд после открытия крана в баке останется четверть первоначального объёма воды?
Задание B11

Найти:
Данные:
Функция:
Схематичный график:
tнаим.
Задание B11

Решение.
Функция:
Схематичный график:
tнаим.
Решаем уравнение:
Ответ:
100.
Задание B11

Задание B11
Если достаточно быстро вращать ведёрко с водой на верёвке в вертикальной плоскости, то вода не будет выливаться. При вращении ведёрка сила давления воды на дно не остаётся постоянной: она максимальна в нижней точке и минимальна в верхней. Вода не будет выливаться, если сила её давления на дно будет положительной во всех точках траектории кроме верхней, где она может быть равной нулю. В верхней точке сила давления, выраженная
в ньютонах, равна , где m — масса воды в
килограммах, v — скорость движения ведёрка в м/с, L — длина верёвки в метрах, g — ускорение свободного падения (считайте, g = 10 м/с2 ). С какой наименьшей скоростью надо вращать ведёрко, чтобы вода не выливалась, если длина верёвки равна 62,5 cм? Ответ выразите в м/с.

Функция:
Данные:
Схематичный график:
vнаим.
Найти:
Задание B11

Решение.
Функция:
Схематичный график:
vнаим.
Решаем уравнение:
Ответ:
2,5.
Задание B11

Высота над землёй подброшенного вверх мяча меняется по закону h(t) = 1,4 + 9t - 5t2 , где h — высота в метрах, t — время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее 3 метров?
Задание B11
Функция:
Данные:
3
t2
t1
∆t
Найти:
Ответ:
1,4.

Зависимость объёма спроса q (тыс. руб.) на продукцию предприятия-монополиста от цены p (тыс. руб.) задаётся формулой q = 130 - 10p . Выручка предприятия за месяц r (в тыс. руб.) вычисляется по формуле r(p) = q · p. Определите наибольшую цену p, при которой месячная выручка составит не менее 360 тыс. руб. Ответ приведите в тыс. руб.
Задание B11
Функция:
Данные:
Найти:
360
pнаиб.

Задание B11
Решение.
360
pнаиб.
Ответ:
9.

Задание B11
После дождя уровень воды в колодце может повыситься. Мальчик измеряет время t падения небольших камешков в колодец и рассчитывает расстояние до воды по формуле h = 5t2, где h — расстояние в метрах, t — время падения в секундах. До дождя время падения камешков составляло 1,2 с. На сколько должен подняться уровень воды после дождя, чтобы измеряемое время изменилось на 0,1 с?

Найти:
Ответ:
Решение.
Данные:
Функция:
Схематичный график:
1,2
h(1,2)
1,1
h(1,1)
∆h
1,15.
Задание B11

Задание B11
Некоторая компания продает свою продукцию по цене p = 600 руб. за единицу, переменные затраты на производство одной единицы продукции составляют ν = 400 руб., постоянные расходы предприятия f = 600000 руб. в месяц. Месячная операционная прибыль (в рублях) вычисляется по формуле π(q) = q( p - ν)- f . Определите наименьший месячный объём производства q (единиц продукции), при котором месячная операционная прибыль предприятия будет не меньше 500000 руб.

Данные:
Функция:
Решение.
Схематичный график:
Найти:
500000
qнаим.
Ответ:
5500.
Задание B11

Функция:
Задание B11
Найти:
20009
to
При температуре 0oС рельс имеет длину lo= 20 м. При возрастании температуры происходит тепловое расширение рельса, и его длина, выраженная в метрах, меняется по закону l(to) = l0 ( 1+α·to), где α = 1,2·10-5(oC)-1 – коэффициент теплового расширения, to - температура (в градусах Цельсия). При какой температуре рельс удлинится на 9 мм? Ответ выразите в градусах Цельсия.

Ответ:
Задание B11
Решение.
20009
to
37,5.