Школьная геометрия и воспитание технического мышления

Одним из эффективных средств развития технического мышления учащихся может выступать опытное обоснование геометрических формул, изучаемых в школе. Обращение на уроке геометрии к эксперименту способствует формированию у учащихся общих конструктивных умений, составляющих ту практическую сметку, которая нужна и в строительстве, и в технике, и в сельском хозяйстве, и в быту. Этот материал даёт возможность эффективно применить методику «открытия» с помощью опыта некоторых геометрических фактов

Реализация этой методики проходит следующие этапы:
1.Учащимся предлагается прикладная задача, для решения которой известных им теоретических сведений не хватает. Школьникам необходимо самим установить, какие данные следует найти.
2.Учащиеся проводят практическую работу, в ходе которой устанавливают необходимые данные, выявляют закономерности и выражают их с помощью формул.
3.Полученная формула снова проверяется опытом, и, если он не подсказывает явных опровержений, начинается поиск способов логического обоснования полученной формулы.
4.Общий вывод, подтверждённый логически, применяется к решению исходной прикладной задачи.

Поиск нужной формулы проходит в виде практической работы. Круг разрезают на два полукруга по диаметру AB, а каждый полукруг – на одно и то же число равных секторов. Прорези между секторами делают не до конца, чтобы они расходились друг от друга, но не распадались совсем. Секторы одного из полукругов закрашивают. Полукруги ACB и ADB «распрямляют» (насколько это возможно) и закрашенные секторы вставляют между белыми. Получают фигуру близкую по форме к параллелограмму. При достаточно большом числе разбиений на секторы можно с незначительной погрешностью считать высоту получившейся фигуры равной радиусу исходного круга, а длину её основания – равной длине полуокружности.
1 1
2 2
3 3
4 4
5 5
6 6
4
4
3
3
2
2
5
1
1
6
5
6
Площадь круга
Таким образом, площадь круга можно вычислить, умножив длину его полуокружности (2πR/2)на радиус R: S= π R2

Такое «открытие» могут сделать даже учащиеся младших классов, а старшеклассники в состоянии повторить опыт, а затем рассмотреть логическое обоснование формул площади круга, основанное на интуитивном представлении о пределе.

Объём пирамиды
С учащимися можно провести 2 опыта
Опыт №1. Демонстрируются 2 сосуда: один – имеющий форму призмы, другой – пирамида. Пирамида и призма имеют равные высоты (H), проведённые к основанию, и равные площади основания (Sосн). Переливая воду из сосуда-пирамиды в сосуд-призму, учащиеся убеждаются, что ёмкость сосуда-пирамиды примерно в три раза меньше ёмкости сосуда-призмы, т.е
Vпир= Sосн* H/3.
H

Опыт№2. Учащимся показывают модель куба, распадающихся на 6 равновеликих пирамид. Школьникам остается самим проделать простейшие рассуждения: если ребро куба a, то его объём a3, а объём одной пирамиды a3/6, или a2*(a/2)/3, где a2 площадь основания пирамиды, т.е a2 = Sосн; a/2 – длина высоты пирамиды, т.е a/2=H. Таким образом учащиеся снова приходят к формуле Vпир= Sосн*H/3

Свойства пирамид, имеющих равновеликие основания и равные высоты
Давайте проделаем следующий опыт:
в сосуд , имеющий узкую отводную трубку, наливают воду так, чтобы избыток её вытек через отверстие. Подставив под отверстие измерительный стакан, в сосуд погружают одну из пирамид. Узнав при помощи измерительного стакана объём воды, вытесненной пирамидой, учащиеся и одновременно узнают и объём самой пирамиды. Проделав тот же самый опыт с остальными пирамидами, школьники убеждаются, что если пирамиды имеют равновеликие основания и равные высоты, то их объёмы равны.

Площадь поверхности сферы
Прежде чем выводить формулу поверхности сферы давайте проделаем следующий опыт: возьмём деревянную модель полушара и вобьем в неё два гвоздика: один – в центре большого круга, другой – в вершине полушара. Прикрепим конец шнура к гвоздику, вбитому в вершину полушара, и покроем шнуром поверхность полушара, укладывая его спиралью. Затем так же покроем основание полушара – большой круг. Измерив длины использованных шнуров, увидим, что длинна шнура, затраченного на покрытие основания, т.е круга радиусом R, приблизительно в 2 раза меньше длины шнура, покрывающего поверхность полушара.
Отсюда вывод: площадь поверхности полушара равна 2πR2, а площадь поверхности шара равна 4πR2.
Описанный опыт - один из древнейших . С его помощью люди узнали, что площадь поверхности шара в 4 раза больше площади его большого круга.