Системы линейных уравнений. Метод Гаусса

Системой m линейных уравнений с n неизвестными х1, х2, …, хn называется система вида
aij - коэффициенты системы, i=1,…,m; j=1,…,n
bi - свободные члены.
(*)

Решением системы (*) называется такой набор чисел (с1, с2,…, сn), что при его подстановке в систему вместо соответствующих неизвестных (с1 вместо х1, …, сn вместо хn) каждое из уравнений системы обращается в тождество.

Система линейных уравнений
Совместная
(имеет хотя бы одно решение)
Несовместная
(не имеет ни одного решения)
Определённая
(имеет единственное решение)
Неопределённая
(имеет более одного решения-
бесконечное множество решений)
В случае неопределённой системы каждое её решение называется частным решением системы. Совокупность всех частных решений называется общим решением.

Если b1=b2=…=bm=0, то система называется однородной; в противном случае она называется неоднородной.
Две системы называются эквивалентными или равносильными, если любое решение одной из них является также решением другой, т.е. если они имеют одно и то же множество решений.
(любые две несовместные системы считаются эквивалентными)

Элементарными преобразованиями линейной системы называются следующие преобразования:
- перестановка уравнений системы;
- умножение или деление коэффициентов и свободных членов на одно и то же число, отличное от нуля;
- сложение и вычитание уравнений;
- исключение из системы тех уравнений, в которых все коэффициенты и свободные члены равны нулю.

Систему (*) можно записать в матричной форме: АХ=В,
где
матрица коэффициентов системы;
матрица-столбец
(вектор-столбец)
неизвестных
матрица-столбец
(вектор-столбец)
свободных членов

Расширенной матрицей системы (*) называется матрица
А
В

Исследование системы линейных уравнений.
Теорема Кронекера-Капелли.
Система линейных уравнений (*) совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы:

Исследовать систему линейных уравнений означает определить, совместна она или нет, а для совместной системы- выяснить, является ли она определенной или нет.
Если rang(A)≠rang(A|B), то система несовместна.
2) Если rang(A)=rang(A|B)=n (где n- число неизвестных), то система совместна и определённа (имеет единственное решение).
3) Если rang(A)=rang(A|B)

Правила решения произвольной системы линейных уравнений.
Найти ранги основной и расширенной матриц системы. Если rang(A)≠rang(A|B), то система несовместна.
Если rang(A)=rang(A|B)=r, то система совместна. Найти какой-либо базисный минор порядка r. Взять r уравнений, из элементов которых составлен базисный минор. Неизвестные, коэффициенты которых входят в базисный минор, называют базисными или главными, а остальные n-r неизвестных называют свободными.

Выразить базисные (главные) неизвестные через свободные.
Придавая свободным неизвестным произвольные значения, получим соответствующие значения базисных (главных) неизвестных. Таким образом находим частные решения исходной системы уравнений.

3. Метод Гаусса
Систему уравнений приводят к эквивалентной ей системе с треугольной матрицей (к ступенчатому виду).
Из полученной треугольной системы переменные находят с помощью последовательных подстановок.
(метод последовательного исключения неизвестных)

1. Исследовать систему линейных уравнений. Если она совместна, то найти её общее и одно частное решение.

Прямой ход
×(-2)
×(-1)
×(-3)
→

→
: (-4)
+
×3
→
×2
: (-1)
→
rang(A)=rang( A|B)=4=n
система совместна и имеет единственное решение
А
A|B

обратный ход
Ответ: (1; 2; 3; 4)

2. Исследовать систему линейных уравнений. Если она совместна, то найти её общее и одно частное решение.

×(-6)
×7
×3
→

→
+
→
rang(A)=rang(A|B)=2<(n=4)
система совместна и имеет бесконечное множество решений
базисный минор порядка r =2:
базисные переменные: х1, х2
свободные переменные n - r = 2: х3, х4.

общее решение
х1
х2

пусть
тогда частное решение
Ответ:
общее решение:
частное решение:
Делаем проверку и записываем ответ:

3. Исследовать систему линейных уравнений. Если она совместна, то найти её общее и одно частное решение.
×(-1)
×2
→
×(-2)
→

→
rang(A)≠rang(A|B) ⇒ система несовместна
rang(A)=2; rang(A|B)=3
А
A|B
Ответ: система несовместна

Если b1=b2=…=bm=0, то система называется однородной.

Однородная система линейных уравнений.
Пусть дана система m линейных однородных уравнений с n неизвестными х1, х2, …, хn:

Однородная система всегда совместна, так как существует тривиальное решение х1= х2=…=хn=0
Однородная система имеет бесконечное множество решений, тогда и только тогда, когда rang(A)

1. Решить систему линейных уравнений :

Запишем расширенную матрицу и приведём её к ступенчатому
виду:
×(-2)
×(-3)
→
→
+

×(-3)
×3
→
: 2
: 12
×11

rang(A)=rang(A|B)=4=(n=4) ⇒
система совместна и определённа, то есть имеет единственное
решение х1= х2= х3 =х4=0.
А
A|B

Ответ: (0, 0, 0, 0)

2. Решить систему линейных уравнений :
×(-2)
: 3
→

rang(A)=rang(A|B)=2<(n=3)
система совместна и имеет бесконечное множество решений
базисный минор порядка r =2:
базисные переменные: х1, х2
свободные переменные n - r = 1: х3

⇒
Тогда общее решение системы: (0, х3, х3)