Сложение чисел

Когда считаем палочками – в Википедии это называется
(ВНИМАНИЕ! НЕНОРМОТИВНАЯ ЛЕКСИКА!)
«Единичная непозиционная система счисления с единичным весовым коэффициентом». Ну, или попросту будем называть
УНАРНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ (1-СС).

В обычной жизни мы (люди) пользуемся ДЕСЯТЕРИЧНОЙ СИСТЕМОЙ СЧИСЛЕНИЯ (10-СС). Она так называется, потому что у нас есть десять цифр.
К тому же, она еще и ПОЗИЦИОННАЯ, что означает, что значение (вес) цифры зависит от её положения в записи числа, например, в числах
2; 21 и 211 цифра 2 означает, соответственно, единицы, десятки и сотни.

Десятичная система счисления
Как мы складываем в 10-СС?
Например, столбиком:
12
+ 99

Сначала складываем единицы:
2+9 = 11, т.е. при сложении двух единичных чисел появился новый десяток. Ясное дело, что из них может появиться только один десяток, потому что самое большое, что можно сложить – это
9+9 = 18.
Таким образом, разбиваем сложение на кусочки: вместо 12+99 мы делаем
2+9 +10+90,
т.е. единицы и десятки (а потом и сотни) складываем отдельно друг от друга:

12 + 99 = [разобьем на разряды]
= (2+9) + (10+90) = [сложим первые разряды]
= 11 + (10+90) = [снова разобьем на десятки и единицы]
= (1 + 10) + (10 + 90) = [снова перегруппируем, чтобы отделить десятки от единиц]
= 1 + (10 + 10 + 90) = [сложим десятки]
= 1 + (110) = [разобьем на сотни и десятки]
= 1 + 10 + 100

Получится 111,
но давайте остановимся и посмотрим на эту полученную форму записи:
1 + 10 + 100

Интересно, что любое число можно представить как сумму отдельно единиц, отдельно десятков, сотен и т.д., например:
564 = 500 + 60 + 4,
7031 = 7000 + 000 + 30 + 1
Особенность такой записи в том, что мы видим во всех разрядах одну значащую цифру (первую), все следующие за ней цифры – это нули.
Запомните этот момент – это важно.

При этом вместо того, чтобы писать 1000, мы можем написать 103 (т.е. десять в третьей степени,
,
что можно расшифровать как 10×10×10).

В частности:
7000 = 7×1000 = 7 × 103
А всё число 7031 можно расписать так:
7031 = 7×103 + 0×102 + 3×101 + 1×100

Напомню, что любое число в нулевой степени даёт единицу, и 100 = 1, а любое число в первой степени даёт само себя 101 = 10.
Еще напомню, что любое число умноженное на 0 даёт 0, т.е.
0×102 = 0.
Так вот, наша система счисления называется десятичной именно благодаря этой десятке, которую в степень возводим.

Не путайте числа и цифры!
Путать цифры и числа – это как путать буквы и звуки.
Цифра – это просто символ
для записи чисел.
А число – это абстрактная величина, обычно означающее количество чего-нибудь.

Двоичная система счисления
Теперь, поговорим о 2-СС.
Её особенность в том, что в ней есть всего 2 символа для записи чисел:
0 и 1.
Что интересно, при этом любое число, которое можно записать
в 10-СС, так же можно записать и в 2-СС, и даже в 1-СС!

Двоичная система тоже позиционная и отличается от десятичной тем, что в ней вместо 10 в степень возводится двойка, например, число двоичное число 101101 можно прочитать так:
5 4 3 2 1 0
101101= 1*25 + 0*24 + 1*23 + 1*22 + 0*21 + 1*20
= 32 + 0 + 8 + 4 + 0 + 1 = 45 (это уже в десятичной системе)

Теперь давайте поскладываем в двоичной системе.

Начнём с простого:
0+0 = 0, 1+0 = 1, 0+1 = 1
Ничего удивительного, в 10-СС это точно так же выглядит.
Теперь посложнее: 1 + 1 = 10
Разве десять???
А вот никакие не ДЕСЯТЬ!
Это число ДВА. Просто в двоичной записи.

Дальше: 10 + 1 = 11
Нет!!! Это не десять плюс один!
Это два плюс один!
В 10-СС это выглядит так:
2 + 1 = 3, а в 1-СС так:
|| + | = |||.
Усложняем программу:
11 + 1 = ?

сложновато? Давайте упростим!
По той же схеме, что и 12 + 99.
Не забываем, что всё это в двоичной системе!
11 + 1 = [разобьем на разряды]
= (10 + 1) + 1 = [перегруппируем]
= 10 + (1 + 1) = [О! «1+1» складывать умеем!]
= 10 + 10 = [ну, здесь просто сначала игнорируем нули, складываем 1+1 и потом приписываем 0 к результату]
= 100

Это не СТО!!! Если то же самое записать в 10-СС, то получим:
3 + 1 = 4.
Т.е. это 100 в записи 2-СС – это ЧЕТЫРЕ.