Случайные величины (лекция 3)

Дискретная случайная величина
Случайная величина – величина, которая в результате испытания принимает одно и только одно возможное значение, наперёд не известное и зависящее от случайных обстоятельств, которые заранее не могут быть учтены.
Пример. Выпадение определённого числа очков на игральной кости (от 1 до 6). Число очков – случайная величина.
Дискретная случайная величина – случайная величина, которая может принимать конечные, изолированные значения из некоторого числового промежутка
Непрерывная случайная величина – случайная величина, которая может принимать все значения из некоторого числового промежутка
Пример. Содержание какого-либо фермента в крови
Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины – это сопоставление всех возможных значений случайной величины и их вероятностей.
Тривиальный пример. Случайная величина – сторона монетки. Она принимает два изолированных значения – либо «орёл», либо «решка» и подчинена следующему закону распределения:
Название случайной величины
Вектор вероятностей

Способы задания распределения вероятностей дискретной случайной величины
Таблично
Из ящика, в котором лежат 2 белых и 8 чёрных шаров, последовательно вынимают шары до тех пор, пока не появится чёрный шар. Число вынутых шаров – есть дискретная случайная величина X, которая может принимать изолированные значения на промежутке от 1 до 3. Зададим закон её распределения таблично.
Графически
Аналитически
Многоугольник распределения дискретной случайной величины, принимающей изолированные значения на промежутке от 0 до 3.

Биномиальное распределение
Аналитическое выражение закона распределения д.с.в.
Определение. Биномиальное распределение – это то распределение, которое определяется формулой Бернулли с заданными n и p.

Биномиальное распределение. Пример.
Монета брошена 5 раз. Задать распределение случайной величины X – числа выпадения «гербов» аналитически, таблично и графически.
Решение. n=5, X=0,1,2,…,5 (всего 6 возможных значений).
Аналитически:
Таблично: i=1, Xi=0.
i=2, Xi=1.
i=3, Xi=2.
i=4, Xi=3.
i=5, Xi=4.
i=6, Xi=5.
Графически:

Геометрическое распределение
Геометрическая прогрессия – степени числа (1-p)
Определение. Геометрическое распределение – это то распределение, которое определяется формулой геометрической прогрессии со знаменателем (1-p) и первым членом p

Геометрическое распределение. Пример.

Гипергеометрическое распределение
Вероятность того, что среди n деталей будет ровно m без брака
Гипергеометрическое распределение определяется тремя параметрами –
N, M и n.

Гипергеометрическое распределение. Пример.

Числовые характеристики дискретной случайной величины
Независ.д.с.в. – те д.с.в., закон распределения которых не зависит от значений др. д.с.в.

Доказательства свойств М.о.
Распределение такой «случайной» величины в табл. форме
*
=
p1
p2
q1
q2
+
=

Математическое ожидание числа появления события в независимых испытаниях
n независимых испытаний
Событие A появляется в каждом из них с вероятностью p
Дискретная случайная величина X – число появления события A в этих испытаниях
ВОПРОС: Чему равно среднее число (математическое ожидание случайной величины X) появлений события A в испытаниях?
ОТВЕТ: Математическое ожидание числа появлений события A в n испытаниях равно произведению n на p: M(X)=n*p
Доказательство. Пусть X1 – число появления события A в первом испытании, X2 – во втором и.т.д, Xn – в n-ом. Всего событие A появилось X1+X2+…+Xn раз. По свойству математического ожидания суммы, M(X)=M(X1)+M(X2)+…+M(Xn). Так как математическое ожидание числа появлений события в одном испытании равно его вероятности, M(X1)=M(X2)=…=M(Xn)=p. Отсюда M(X)=n*p.
Данная случайная величина X распределена по биномиальному закону, поэтому можно сказать, что МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ БИНОМИАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ С ПАРАМЕТРАМИ N И P РАВНО ПРОИЗВЕДЕНИЮ N*P.