Специальные случайные распределения, используемые в математической статистике

Гамма-функция
Интегральное представление:

Основное свойство : Γ(x+1) = x Γ(x)
где х – любое действительное число.
Частные свойства.
Γ(n+1) = n ! , где n - натуральное число.
Γ(1) = Γ(2) = 1.

Асимптотика

График функции Γ(x).
Интервал: [ - 1; 1].

График функции Γ(x).
Интервал: [ - 5; 5].

График функции 1 / Γ(x).

Нормированная функция Гаусса

Случайная величина «хи-квадрат»
где ξi – независимые случайные величины, каждая из которых имеет нормальное нормированное распределение вероятностей, имеющее плотность вида

Вид распределения зависит от целочисленного параметра ν, который называется число степеней свободы и принимает значения натурального ряда чисел.
x ≥ 0
Математическое ожидание и дисперсия

v = 1

v = 2

v = 3

v = 4

v = 5

v = 10

v = 20

v = 50

v = 100

v = 200

v = 500

v = 1000

при v → ∞ превращается в гауссову нормированную случайную величину.

Случайная величина Стьюдента
где все (ν + 1) случайные величины ξi независимы и имеют нормальное нормированное распределение вероятностей.
Параметр ν называется числом степеней свободы и принимает значения натурального ряда чисел.

Плотность случайной величины Стьюдента
Вид распределения зависит от числа степеней свободы
M(Tv) = 0
Математическое ожидание и дисперсия

v = 1

v = 2

v = 3

v = 5

v = 10

v = 40

Нормированная функция Гаусса