Технология подготовки учащихся к овладению функционально-графическими методами решения задач с параметрами. (Занятие №3)

Содержание курса
3

Содержание
О функционально-графических методах решения задач с параметрами
ЕГЭ 2014-2015 (что было и что предлагают в материалах методических рекомендаций ФИПИ)
Основные типы задач
Технология подготовки учащихся к овладению функционально-графическими методами решения задач с параметрами
Печатные и электронные ресурсы.

О функционально-графическом методе решения задач с параметрами
В задачах (уравнение, неравенство, система уравнений или неравенств)
вида (1)
где символ заменяет один из знаков часто ставится вопрос исследовать (1) на: – наличие решений или их отсутствие, – единственность решения или наличие определенного количества решений, – наличие решений определенного типа и т.д.
Для решения подобных задачи можно применять графический метод решения (метод наглядной графической интерпретации), основанный на использовании графических образов, входящих в (1) выражений.
Графиком функции y = f(x), x ∈ D(f) называется множество всех точек координатной плоскости Oxy вида (x, f(x)), где x ∈ D(f) .
Статья. Прокофьев А.А., Корянов А.Г. Использование метода наглядной графической интерпретации при решении уравнений и неравенств с параметрами. «Математика в школе», − М.: «Школьная пресса», 2011. №1. – С. 18-26, 2011. №2. – С. 25-32.

О функционально-графических методах решения задач с параметрами
Графический метод применительно к рассматриваемым задачам допускает несколько интерпретаций, имеющих общее название метод сечений. В зависимости от того, какая роль отводится параметру при решении задачи с параметрами с использованием этого метода можно выделить два основных графических приема.
Построение графического образа на координатной плоскости Oxy.
В этом случае (1) приводится, если это возможно, к виду
построение графического образа на координатной плоскости Oxa.
В этом случае (1) приводится, если это возможно, к виду
приведение, если это возможно, (1) к уравнению (неравенству) вида
.
Статья. Прокофьев А.А., Соколова Т.В. Обоснование применения графических методов решения задач с параметрами. «Математика в школе», − М.: «Школьная пресса», 2014, № 6. − С. 21–28; 2014, № 7. − С. 30–36.

Плюсы и минусы графических методов в сравнении с аналитическими методами
Применение графических методов оправдано в случаях, когда в условии задачи ставится вопрос о количестве решений в зависимости от значений параметра или нахождения значений параметра, при которых решение отсутствует или единственно.
Плюсы графических методов:
во-первых, построив графический образ, можно определить, как влияет на
них и, соответственно, на решение изменение параметра;
во-вторых, иногда график дает возможность сформулировать аналитически необходимые и достаточные условия для решения поставленной задачи;
в-третьих, ряд теорем позволяет на основании графической информации делать вполне строгие и обоснованные заключения о количестве решений, об их границах и т.д.
Минусы графических методов: при использовании графических методов возникает вопрос о строгости решения. Требования к строгости должны определяться здравым смыслом. Если результат, полученный графическим методом, вызывает сомнения, его необходимо подкрепить аналитически.

Аналитический аппарат

Суть метода сечений для решения уравнений
В случаях исследования уравнения на наличие корней или их количество в зависимости от значений параметра применяют метод сечений, состоящий в следующем.
Исходное уравнение приводится к виду Далее в системе координат строится график левой части и определяется количество точек его пересечения семейством графиков функций в зависимости от значений параметра a.
Другая разновидность этого метода состоит в том, что исходное уравнение приводится к виду Далее в системе координат строится график правой части и определяется количество точек его пересечения семейством графиков функций .
На начальном этапе обучения (8-9 класс) графическому методу решения уравнений с параметром в качестве семейства функций вида
используются линейные функции:
– семейство прямых, параллельных оси абсцисс;
– семейство прямых, параллельных прямой
– семейство прямых («пучок»), проходящих через начало координат.

Статья: Прокофьев А.А., Корянов А.Г. Различные подходы к решению задач С5 ЕГЭ. «Математика», − М.: Издательский дом «Первое сентября»: 2011, № 5. − С. 11–21.
Плоскость
Oxa

Плоскость
Oxy

ГИА 2010/14 (функционально-графический метод)
Учащиеся
9 класса должны демонстрировать владение этими методами!

Подготовка к ОГЭ (8 лицейский класс)
1
2

Подготовка к ОГЭ (8 лицейский класс)
3
4

Подготовка к ОГЭ (8 лицейский класс)
5
6

Подготовка к ОГЭ (8 лицейский класс)
7
При разработке курса автором ставились следующие цели:
развитие логического мыш-ления учащихся;
привитие графической культуры: умение строить графики различной степени сложности и применять их как иллюстрацию к задаче;
научить умению анализиро-вать и обобщать результаты решения задач;
научить самостоятельно искать подходы к решению нестандартных задач.

ГИА 2009 (пример оформления)

ГИА 2009 (пример оформления)

ГИА 2014 (пример оформления)

ЕГЭ 2010/14 (функционально-графический метод)

ЕГЭ 2015 (спецификация и кодификатор)
Пункты, указанные в спецификаторе и относящиеся к заданию 20.
Пункты, указанные в кодификаторе, относящиеся к пунктам спецификации 2.1-3.3. Однако полезны 4.1.3 и 4.2.1.

Литература для подготовки по заданию 20 ЕГЭ 2015 профильного уровней

Литература для подготовки по заданию 20 ЕГЭ 2015 профильного уровней

Классификация задач, решаемых функционально-графическими методами

Функционально-графические методы в электронных пособиях Прокофьева А.А. и Корянова А.Г.
Адреса:
http://alexlarin.net/ege/2012/C5-2012.http://alexlarin.net/ege/2012/C5-2012. html
и
http://www.alexlarin.net/ege/2011/c52011.html
и
Из оглавления пособия 2011 года:

С чего следует начать?
Для овладения графическими методами решения задач с параметрами необходимо повторить основные способы построения семейства графиков функций
с помощью элементарных преобразований. Обычно в задачах используются функции, графики которых строятся средствами элементарной математики (то есть без использования дифференциального исчисления).
Считается, что график функции
известен.

Таблица элементарных преобразований
графика функции

Последовательность действий при построении из графика
функции графика функции

Задачи для самостоятельного решения функционально-графическим методом

Ответы к задачам для самостоятельного решения

Суть метода сечений для решения неравенств
При решении или исследовании на наличие решений неравенства (или решений, удовлетворяющих некоторым условиям, также применяют метод сечений, состоящий в следующем.
Исходное неравенство приводится к виду Далее в системе координат строится график левой части неравенства и определяются точки пересечения его семейством графиков функций
и на образовавшихся промежутках, на которые эти точки разбили область допустимых значений переменной рассматривается взаимное положение графиков функций и .
Для графической интерпретации при решении неравенств методом интервалов (или обобщенным методом интервалов) используется числовая прямая (или ) или метод областей на плоскости
(или ).
Статья. Прокофьев А.А., Шабунин М.И. Задачи на координатной плоскости. «Математика в школе», − М.: «Школьная пресса», 2011. − №9. − С. 20-29; 2011. − №10. − С. 18-23.

Метод областей
Для изображения на координатной плоскости Oxy множества решений уравнений и неравенств с двумя переменными и их систем используется построение на координатной плоскости множества точек, координаты которых удовлетворяют этим уравнениям, неравенствам, системам.
При решении неравенства равносильного смешанной системе
применяется метод областей, являющийся обобщением метода интервалов на случай двух переменных. Для этого вначале находят все нули выражения то есть все такие точки, координаты которых удовлетворяют уравнению В общем случае это уравнение задает некоторую кривую (или несколько кривых) на плоскости Oxy. Полученные кривые разбивают плоскость на множества, для координат всех точек которых выражение имеет постоянный знак. Далее отбирают требуемые подмножества, координаты точек которых удовлетворяют неравенству . Это можно сделать подстановкой координат произвольной точки из рассматриваемого подмножества в выражение

Метод областей

Графическая интерпретация при решений неравенств

Графическая интерпретация при решений неравенств
Общий случай для произвольной области.

О включении множеств
При решении неравенств и систем неравенств часто приходится сталкиваться с ситуацией включении или объединении множеств одного из семейств и множества другого. После того как вопрос задачи будет переформулирован в терминах включения (пересечения) множеств как правило, используется геометрическая интерпретация множества решений на числовой прямой. Это особенно полезно при анализе неравенств. Напомним, что множество решений неравенства наглядно можно изобразить линией, поднятой над той частью числовой прямой, которая содержит числа, составляющие множество решений (см. рис. 1 и 2).
Если получены множества X и Z, то множеству X∩Z соответствую элементы числовой прямой, над которыми находится две линии.
При решении неравенств с использованием метода областей на соответствующей плоскости множества X и Z получаются как проекции на координатную ось общей части полученной области и прямой, параллельной соответствующей числовой оси (см. на следующем слайде рис. 3 и 4).
1
2

О включении множеств в методе областей
В случае использования плоскости Oxa рассматриваются сечения области прямыми a=const, параллельными оси абсцисс, и получаются множества Za , состоящие из точек (x, a) (рис. 3) . В соответствии с постановкой задачи выбираем подходящие значения параметра).
В случае использования плоскости Oax рассматриваются сечения области прямыми a=const , параллельными оси ординат, и получаются множества Za, состоящие из точек (a, x) (рис. 4). В соответствии с постановкой задачи выбираем подходящие значения параметра).
4
3

Метод наглядной интерпретации на прямой

Метод наглядной интерпретации на прямой

Метод наглядной интерпретации на прямой и плоскости

Метод наглядной интерпретации на прямой и плоскости

Метод наглядной интерпретации на прямой

Графическая интерпретация решения неравенства на числовой прямой

Метод наглядной интерпретации на прямой и плоскости

Метод наглядной интерпретации на прямой и плоскости

Для самостоятельной работы

Метод наглядной интерпретации

Часто используемые семейства функций
Рассмотрим часто встречающиеся в подобных задачах семейства функций или уравнения и их графики.
1. Семейство линейных функций графики которых - прямые, проходящие через точку и имеющие угловой коэффициент, равный («пучок прямых» – так обычно называют это семейство графиков).
2. Семейство функций , графики которых получаются из графика параллельным переносом на вектор
(семейство «уголков»).
3. Семейство окружностей с центром в точке , радиуса .
При решении уравнения (неравенства) вида на плоскости
строятся график функции (назовем его «неподвижным») и прямые параллельные оси Далее в соответствии с условием задачи исследуется расположение построенных графиков.

Перемещение графиков семейства функции
В общем случае при фиксированном значении параметра кривая
семейства соответствующая этому значению
параметра, получается из кривой, заданной уравнением
параллельным переносом на вектор .
Уравнение семейства функций можно
записать в виде и далее строить графики при каждом фиксированном значении параметра сдвигая график функции соответственно на вектор
На рис. 1 и 2 показано соответствующее смещение кривых на вектор
1
2

Пример с перемещением графиков («уголок»)

Пример с «пучком прямых» (ЕГЭ 2013)

Пример с «пучком прямых» (ЕГЭ 2013)

Окружность с изменяющимся радиусом

Область значений функции и ее график
Статья. Прокофьев А.А., Бардушкин В.В. Использование свойств
Функции при решении задач. «Математика в школе»,
− М.: «Школьная пресса», 2013. − № 9. − С. 23–31.

Обучение графическим методам решения задач с параметром с использованием специализированных программ

Системы уравнений. С чего начать?

Система неравенств. Метод областей

Для самостоятельной работы. Метод областей

Метод областей

Системы уравнений и неравенств

Системы уравнений и неравенств
Статья. Прокофьев А.А., Шабунин М.И. Системы уравнений и неравенств с двумя переменными. «Потенциал», − М.: МФТИ, − М., 2011, №3. – С. 29-36.

Системы уравнений и неравенств

Метод наглядной интерпретации на прямой и плоскости

Метод наглядной интерпретации на плоскости
2
3
4
1

Катится окружность

Катится окружность

Окружность с изменяющимся радиусом

Касательная к графику функции (находится геометрически)

Касательная к графику функции

Касательная к графику функции

Касательная к графику функции

На помощь приходит производная

Применение производной

Применение производной

Печатные и электронные ресурсы
Школьные учебники.
Пособия для подготовки к ЕГЭ по математике.
Журналы «Математика в школе», «Математика для школьников»,
«Математика», «Потенциал»
Сайты: alexlarin.net, abiturient.ru (МИЭТ),
mathus.ru/math/ , reshuege.ru,
ege-ok.ru/category/zadachi-s-parametrom/