Теория вероятностей и математическая статистика

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
И
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Лекция 7

Повторение испытаний

Определение сложного эксперимента
Рассмотрим единичный эксперимент, в результате которого может произойти некоторое событие А. Если событие А произошло, говорим, что произошел успех. Пусть этот эксперимент проводится несколько раз.

Основные вопросы
1. Вероятность для некоторого числа появлений события А;
2. Вероятность для числа проведенных испытаний до первого появления события А или некоторого фиксированного числа появлений А.

Типы испытаний
1. Вероятность успеха постоянна в каждом испытании;
2. Вероятность успеха меняется.

Схема Бернулли (биномиальная)
Пусть производится n независимых испытаний. Пусть P(А)=p в каждом испытании и q = 1 – p.

Найти
={в n испытаниях событие А
наступит k раз}

Вероятность события {в n испытаниях А наступит k раз и не наступит n – k раз} равна
Вывод формулы

Число таких событий равно
Так как эти события несовместны и равновероятны, получаем
Полученную формулу называют формулой Бернулли.

Пример 1
Университетом для студенческих общежитий приобретено 5 телевизоров. Для каждого из них вероятность выхода из строя в течение гарантийного срока равна 0,1. Определить вероятность того, что в течение гарантийного срока выйдет из строя ровно один.

Решение
Из условия задачи выпишем p, n, k, q.
n=5; k=1; p=0,1; q=0,9.
Тогда по формуле Бернулли

Вероятность того, что расход электроэнергии в продолжении одних суток не превысит установленной нормы, равна р = 0,75.
Найти вероятность того, что в ближайшие 6 суток расход электроэнергии в течение 4 суток не превысит нормы.
Пример 2

Решение
р = 0,75. q = 1 – p = 1 – 0,75 = 0,25. Искомая вероятность по формуле Бернулли равна:

Схема Пуассона
Пусть вероятность успеха при фиксированном числе испытаний n постоянна и мала, уменьшается с ростом n, однако
постоянна.

Формула Пуассона

Пример 1
Вероятность того, что какой-нибудь абонент позвонит на коммутатор в течение часа, равна 0,01. Телефонная
станция обслуживает 300 абонентов. Какова вероятность того, что в течение часа позвонят ровно 4 абонента?

Решение
По условию задачи
p=0,01; n=300; k=4.
Найдем λ=300⋅0,01=3
По формуле Пуассона

Пример 2
Найти вероятность не более двух успехов в схеме Пуассона при

Решение

Геометрическая схема
Пусть производятся независимые испытания, в каждом из которых вероятность появления события А равна р (0
Испытания проводятся до первого появления события А.

Основной вопрос
Пусть в первых k – 1 испытаниях событие А не наступило, а в k-м испытании появилось. Тогда

Пример
Из орудия производится стрельба по цели до первого попадания. Вероятность попадания в цель р = 0,6.
Найти вероятность того, что попадание произойдёт при третьем выстреле.

Решение
Из условия задачи выпишем
р = 0,6; q = 0,4; k = 3.

Пользоваться формулой Бернулли при больших значениях n достаточно трудно.
Например, если n=5000, k=3000,p=0,1, то для отыскания вероятности
надо вычислить выражение:
Формулы Пуассона и Лапласа

Теорема Пуассона
Пусть в схеме Бернулли n велико, p мало и npq <9. Тогда

Пример
Завод отправил на базу 5000 доброкачественных изделий. Вероятность того, что в пути изделие повредится, равна 0, 0002.
Найти вероятность того, что на базу прибудут 3 негодных изделия.