Теория вероятностей и математическая статистика

Содержание

Слайд 2

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
И
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Слайд 3

Лекция 7

Лекция 7

Слайд 4

Повторение испытаний

Повторение испытаний

Слайд 5

Определение сложного эксперимента

Рассмотрим единичный эксперимент, в результате которого может произойти некоторое событие

Определение сложного эксперимента Рассмотрим единичный эксперимент, в результате которого может произойти некоторое
А. Если событие А произошло, говорим, что произошел успех. Пусть этот эксперимент проводится несколько раз.

Слайд 6

Основные вопросы

1. Вероятность для некоторого числа появлений события А;
2. Вероятность для числа

Основные вопросы 1. Вероятность для некоторого числа появлений события А; 2. Вероятность
проведенных испытаний до первого появления события А или некоторого фиксированного числа появлений А.

Слайд 7

Типы испытаний

1. Вероятность успеха постоянна в каждом испытании;
2. Вероятность успеха меняется.

Типы испытаний 1. Вероятность успеха постоянна в каждом испытании; 2. Вероятность успеха меняется.

Слайд 8

Схема Бернулли (биномиальная)

Пусть производится n независимых испытаний. Пусть P(А)=p в каждом испытании

Схема Бернулли (биномиальная) Пусть производится n независимых испытаний. Пусть P(А)=p в каждом
и q = 1 – p.

Слайд 9

Найти
={в n испытаниях событие А
наступит k раз}

Найти ={в n испытаниях событие А наступит k раз}

Слайд 10

Вероятность события {в n испытаниях А наступит k раз и не наступит

Вероятность события {в n испытаниях А наступит k раз и не наступит
n – k раз} равна

Вывод формулы

Слайд 11

Число таких событий равно

Так как эти события несовместны и равновероятны, получаем

Полученную

Число таких событий равно Так как эти события несовместны и равновероятны, получаем
формулу называют формулой Бернулли.

Слайд 12

Пример 1

Университетом для студенческих общежитий приобретено 5 телевизоров. Для каждого из

Пример 1 Университетом для студенческих общежитий приобретено 5 телевизоров. Для каждого из
них вероятность выхода из строя в течение гарантийного срока равна 0,1. Определить вероятность того, что в течение гарантийного срока выйдет из строя ровно один.

Слайд 13

Решение

Из условия задачи выпишем p, n, k, q.
n=5; k=1; p=0,1; q=0,9.
Тогда по

Решение Из условия задачи выпишем p, n, k, q. n=5; k=1; p=0,1;
формуле Бернулли

Слайд 14

Вероятность того, что расход электроэнергии в продолжении одних суток не превысит установленной

Вероятность того, что расход электроэнергии в продолжении одних суток не превысит установленной
нормы, равна р = 0,75.
Найти вероятность того, что в ближайшие 6 суток расход электроэнергии в течение 4 суток не превысит нормы.

Пример 2

Слайд 15

Решение
р = 0,75. q = 1 – p = 1 – 0,75

Решение р = 0,75. q = 1 – p = 1 –
= 0,25. Искомая вероятность по формуле Бернулли равна:

Слайд 16

Схема Пуассона

Пусть вероятность успеха при фиксированном числе испытаний n постоянна и мала,

Схема Пуассона Пусть вероятность успеха при фиксированном числе испытаний n постоянна и
уменьшается с ростом n, однако
постоянна.

Слайд 17

Формула Пуассона

Формула Пуассона

Слайд 18

Пример 1

Вероятность того, что какой-нибудь абонент позвонит на коммутатор в течение

Пример 1 Вероятность того, что какой-нибудь абонент позвонит на коммутатор в течение
часа, равна 0,01. Телефонная
станция обслуживает 300 абонентов. Какова вероятность того, что в течение часа позвонят ровно 4 абонента?

Слайд 19

Решение

По условию задачи
p=0,01; n=300; k=4.
Найдем λ=300⋅0,01=3
По формуле Пуассона

Решение По условию задачи p=0,01; n=300; k=4. Найдем λ=300⋅0,01=3 По формуле Пуассона

Слайд 20

Пример 2
Найти вероятность не более двух успехов в схеме Пуассона при

Пример 2 Найти вероятность не более двух успехов в схеме Пуассона при

Слайд 21

Решение

Решение

Слайд 22

Геометрическая схема

Пусть производятся независимые испытания, в каждом из которых вероятность появления события

Геометрическая схема Пусть производятся независимые испытания, в каждом из которых вероятность появления
А равна р (0Испытания проводятся до первого появления события А.

Слайд 23

Основной вопрос

Пусть в первых k – 1 испытаниях событие А не наступило,

Основной вопрос Пусть в первых k – 1 испытаниях событие А не
а в k-м испытании появилось. Тогда

Слайд 24

Пример
Из орудия производится стрельба по цели до первого попадания. Вероятность попадания

Пример Из орудия производится стрельба по цели до первого попадания. Вероятность попадания
в цель р = 0,6.
Найти вероятность того, что попадание произойдёт при третьем выстреле.

Слайд 25

Решение

Из условия задачи выпишем
р = 0,6; q = 0,4; k = 3.

Решение Из условия задачи выпишем р = 0,6; q = 0,4; k = 3.

Слайд 26

Пользоваться формулой Бернулли при больших значениях n достаточно трудно.

Например, если n=5000,

Пользоваться формулой Бернулли при больших значениях n достаточно трудно. Например, если n=5000,
k=3000,p=0,1, то для отыскания вероятности

надо вычислить выражение:

Формулы Пуассона и Лапласа

Слайд 27

Теорема Пуассона

Пусть в схеме Бернулли n велико, p мало и npq <9.

Теорема Пуассона Пусть в схеме Бернулли n велико, p мало и npq
Тогда

Слайд 28

Пример

Завод отправил на базу 5000 доброкачественных изделий. Вероятность того, что в пути

Пример Завод отправил на базу 5000 доброкачественных изделий. Вероятность того, что в
изделие повредится, равна 0, 0002.
Найти вероятность того, что на базу прибудут 3 негодных изделия.
Имя файла: Теория-вероятностей-и-математическая-статистика.pptx
Количество просмотров: 39
Количество скачиваний: 0