Теория вероятностей и математическая статистика (Лекция 5)

Лекция 5

Вероятности сложных событий

Теорема сложения
Вероятность появления суммы двух несовместных событий
Р ( А + В ) = Р ( А ) + Р ( В )

Вероятность появления суммы нескольких попарно несовместных событий

Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

Теорема о сумме любых событий
Р (А+В) = Р (А) + Р (В) – Р (АВ)

NEW:
Теорема о сумме любых событий.
Р (А+В) = Р (А) + Р (В) – Р (АВ).

Доказательство.

По теореме сложения вероятностей

Условная вероятность

Пример
Студент выучил 20 из 25 экзаменационных вопросов. Найти вероятность того, что студент ответит на предложенные ему на экзамене три вопроса.

Решение
Обозначим события
A={студент ответит на первый вопрос}
B={студент ответит на второй вопрос} C={студент ответит на третий вопрос}
P(A)=20/25
P(B)=19/24
P(C)=18/23

Тогда искомая вероятность
P(ABC)=20/25·19/24·18/23=0,496

Теорема умножения вероятностей

Вероятность того, что при одном выстреле стрелок попадает в цель, равна 0,4. Сколько выстрелов должен произвести стрелок, чтобы с вероятностью не менее 0,9 он попал в цель хотя бы один раз?
Пример

Учитывая lg0.6 < 0, имеем

Формула полной вероятности
Пусть событие А может наступить при условии появления одного из несовместных событий
которые образуют полную группу. Пусть известны вероятности этих событий и условные вероятности

Теорема.
Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий
образующих полную группу, равна

Пример
Имеется два набора деталей. Вероятность того, что деталь первого набора стандартна, равна 0,8, а второго – 0,9.
Найти вероятность того, что взятая наудачу деталь (из наудачу взятого набора) – стандартна.

Решение
А= {«извлечённая деталь стандартна»}.
Деталь из первого набора ( ), либо
второго ( ).

Пример .
В первой коробке содержится 20 радиоламп, из них 18 стандартных; во второй коробке – 10 ламп, из них 9 стандартных. Из второй коробки наудачу взята лампа и переложена в первую.
Найти вероятность того, что лампа, наудачу извлечённую из первой коробки, будет стандартной.

Решение
А ={из первой коробки извлечена стандартная лампа}.
Из второй коробки могла быть извлечена либо стандартная лампа (событие ),
либо нестандартная (событие ).

Вероятность гипотез
Формула Байеса
Пусть событие А может наступить при условии появления одного из несовместных событий

Допустим, что произведено испытание, в результате которого появилось событие А.

Будем искать условные вероятности

Заменив здесь P(A) , получим

Полученные формулы называют формулами Байеса (по имени английского математика, который их вывел; опубликованы в 1764г.).

Формулы Бейеса позволяют переоценить вероятности гипотез после того, как становится известным результат испытания, в итоге которого появилось событие А.

Пример. Детали, изготовленные цехом завода, попадают для проверки их на стандартность к одному из двух контролёров. Вероятность того, что деталь попадёт к первому контролёру, равна 0,6, а ко второму – 0,4..

Вероятность того, что годная деталь будет признана стандартной первым контролёром, равна 0,94, а вторым – 0,98. Годная деталь при проверке была признана стандартной
Найти вероятность того, что эту деталь проверил первый контролёр.

Решение
А={ деталь признана стандартной}. Два предположения:
B1={деталь проверил первый контролёр} ;
B2={деталь проверил второй контролёр}

Задача
Есть 50 белых и 50 черных шаров. Их разложили в два ящика: в первый положили 15 белых и 5 черных, во второй положили все остальные. Затем из каждого ящик наудачу вынули по одному шару, а из этих двух – наудачу один. Найти вероятность, что выбран белый шар.

Задачи

Задача 1
В первом ящике имеется 20 деталей, из них 15 стандартных, во втором – 30, из них 24 стандартных, в третьем – 10, из них 6 стандартных. Найти вероятность того, что наудачу извлеченная деталь из наудачу выбранного ящика стандартна.

Решение
Обозначим A={вынута стандартная деталь}
B1={стандартная деталь из ящика 1}
B2={стандартная деталь из ящика 2}
B3={стандартная деталь из ящика 3}
Вероятности P(B1)=P(B2)=P(B3)=1/3

Условные вероятности

По формуле полной вероятности

Задача 2
Имеется 5 винтовок: 3 с оптическим прицелом, 2 без оптического прицела. Вероятность поразить мишень из винтовки с классическим прицелом равна 0,95; для винтовки без оптического прицела – 0,7. Найти вероятность того, что цель будет поражена, если винтовка выбирается наудачу.

Решение
A={цель поражена}
B1={взята винтовка с оптич. прицелом}
B2={взята винтовка без оптического прицела}
Найдем вероятности
P(B1)=3/5
P(B2)=2/5

Условные вероятности
Тогда искомая вероятность

Задача 3
В продажу поступили телевизоры трех заводов. Продукция первого завода содержит 10% телевизоров с дефектов, второго – 5% и третьего – 3%. Какова вероятность купить неисправный телевизор, если в магазин поступило 25% телевизоров с первого завода, 55% со второго, 20% с третьего?

Решение
A={приобретенный телевизор с дефектом}
B1={телевизор выпущен первым заводом}
B2={телевизор выпущен вторым заводом}
B3={телевизор выпущен третьим заводом}

Вероятности P(B1)=0,25; P(B2)=0,55; P(B3)=0,20
Условные вероятности
P(A|B1)=0,1
P(A|B2)=0,05
P(A|B3)=0,03
По формуле полной вероятности
P(A)=0,25·0,1+0,55·0,05+0,20·0,03= =0,0585

Задача 4
В группе студентов 12 юношей и 8 девушек. Зачет по ТВ и МС сдает, как правило 70% юношей и 80% девушек. Найти вероятность того, что первый вышедший из аудитории сдал зачет по ТВ и МС.

Решение
A={сдал зачет по ТВ И МС}
B1={первый вышел юноша}
B2={первой вышла девушка}
Вероятности P(B1)=12/20; P(B2)=8/20
(всего человек 20, юношей 12, девушек 8)

Условные вероятности
P(A|B1)=0,70 – вероятность сдать зачет, при условии, что вышел юноша
P(A|B2)=0,80 – вероятность сдать зачет, при условии, что вышла девушка
По формуле полной вероятности
P(A)=12/20·0,7+8/20·0,8=0,74

Задача 5
В группе спортсменов 20 лыжников, 6 велосипедистов, 4 бегуна. Вероятность выполнить квал. норму для лыжника 0,9; для велосипедиста 0,8; для бегуна 0,75. Найти вероятность, что спортсмен, выбранный наудачу выполнит норму.

Решение
A={спортсмен выполнит норму}
B1={выбран лыжник}
B2={выбран велосипедист}
B3={выбран бегун}
Вероятности
P(B1)=20/30; P(B2)=6/30; P(B3)=4/30

Условные вероятности
P(A|B1)=0,9; P(A|B2)=0,8; P(A|B3)=0,75
По формуле полной вероятности
P(A)=20/30·0,9+6/30·0,8+4/30·0,75

Задача 6
В торговую фирму поступили телевизоры от трех поставщиков в отношении 1:4:5. Телевизоры от первого поставщика не потребуют ремонта в гарантийный срок с вероятностью 98%; от второго – 88%; от третьего – 92%. Найти вероятность того, что наудачу купленный телевизор не потребует ремонта в гарантийный срок.

Решение
A={телевизор не потребует ремонта в гарантийный срок}
B1={телевизор от поставщика 1}
B2={телевизор от поставщика 2}
B3={телевизор от поставщика 3}
P(B1)=0,1; P(B2)=0,4; P(B3)=0,5

Условные вероятности
P(A|B1)=0,98; P(A|B2)=0,88; P(A|B3)=0,92
По формуле полной вероятности
P(A)=0,1·0,98+0,4·0,88+0,5·0,92

Задача 7
Вероятности сбоя для различных элементов в компьютере относятся как 3:2:5. Вероятности обнаружения сбоя в этих устройствах равны 0,8; 0,9; 0,9. Найти вероятность того, что возникший в машине сбой будет обнаружен.

Решение
A={сбой будет обнаружен}
B1={сбой в устройстве 1}
B2={сбой в устройстве 2}
B3={сбой в устройстве 3}
Вероятности
P(B1)=0,3; P(B2)=0,2; P(B3)=0,5

Условные вероятности
P(A|B1)=0,8; P(A|B2)=0,9; P(A|B3)=0,9
По формуле полной вероятности
P(A)=0,3·0,8+0,2·0,9+0,5·0,9=0,87

Задача 8
У рыбака есть три любимых места рыбалка. Эти места он посещает с одинаковой вероятностью. Вероятность того, что при однократном забросе удочки поймается рыбка в первом месте равна 1/3; во втором – ½; в третьем – ¼. Он забросил удочку и вытащил рыбку. Какова вероятность, что он рыбачил в первом месте?

Решение
A={рыбак вытащил рыбку}
B1={рыбачил в первом месте}
B2={рыбачил во втором месте}
B3={рыбачил в третьем месте}
Вероятности
P(B1)=P(B2)=P(B3)=1/3

Условные вероятности
P(A|B1)=1/3; P(A|B2)=1/2; P(A|B3)=1/4
По формуле Байеса

Задача 9
Путешественник может купить билет в одной из трех касс ж/д вокзала. Вероятность, что он направится в первую кассу равна ½; во вторую – 1/3; в третью – 1/6.
Вероятности того, что билетов уже нет в кассах: в первой – 4/5; во второй – 5/6; в третьей – 7/8. Путешественник обратился в одну из касс и купил билет. Какова вероятность, что он купил билет в первой кассе

Решение
A={купил билет}
B1={обратился в кассу 1}
B2={обратился в кассу 2}
B3={обратился в кассу 3}
Вероятности
P(B1)=1/2; P(B2)=1/3; P(B3)=1/6

Так как в условии задачи даны вероятности, что билетов в кассах уже нет, а путешественник купил билет, значит в кассе билеты были.
Условные вероятности
P(A|B1)=1-4/5=1/5
P(A|B2)=1-5/6=1/6
P(A|B3)=1-7/8=1/8.

Искомая вероятность

Задача 10
Турист, заблудившись в лесу, вышел на полянку, от которой в разные стороны ведут 5 дорог. Если турист пойдет по 1-й дороге, вероятность выхода из леса в течение часа составляет 0,6; по 2-й – 0,3; по 3-й – 0,2; по 4-й – 0,1; по 5-й – 0,1. Какова вероятность того, что турист пошел по первой дороге, если через час он вышел из леса?

Решение
A={турист вышел из леса}
B1={выбрал дорогу 1}
B2={выбрал дорогу 2}
B3={выбрал дорогу 3} B4={выбрал дорогу 4}
B5={выбрал дорогу 5}

Дорог всего 5. Вероятности пойти по любой из пяти дорог одинаковы, то есть
P(B1)=P(B2)=P(B3)=P(B4)=P(B5)=1/5
Условные вероятности даны
P(A|B1)=0,6; P(A|B2)=0,3; P(A|B3)=0,2
P(A|B4)=0,1; P(A|B5)=0,1

Имеем

Вопросы к лекции 5
Теорема сложения для любых событий
Условная вероятность
Формула полной вероятности
Формула Байеса