Теория вероятностей и математическая статистика (Лекция 5)

Содержание

Слайд 2

Лекция 5

Лекция 5

Слайд 3

Вероятности сложных событий

Вероятности сложных событий

Слайд 4

Теорема сложения

Вероятность появления суммы двух несовместных событий
Р ( А + В )

Теорема сложения Вероятность появления суммы двух несовместных событий Р ( А +
= Р ( А ) + Р ( В )

Слайд 5

Вероятность появления суммы нескольких попарно несовместных событий

Вероятность появления суммы нескольких попарно несовместных событий

Слайд 6

Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

Слайд 7

Теорема о сумме любых событий

Р (А+В) = Р (А) + Р (В)

Теорема о сумме любых событий Р (А+В) = Р (А) + Р (В) – Р (АВ)
– Р (АВ)

Слайд 8

NEW: Теорема о сумме любых событий.

Р (А+В) = Р (А) + Р (В)

NEW: Теорема о сумме любых событий. Р (А+В) = Р (А) +
– Р (АВ).

Слайд 9

Доказательство.

Доказательство.

Слайд 10

По теореме сложения вероятностей

По теореме сложения вероятностей

Слайд 11

Условная вероятность

Условная вероятность

Слайд 12

Пример

Студент выучил 20 из 25 экзаменационных вопросов. Найти вероятность того, что

Пример Студент выучил 20 из 25 экзаменационных вопросов. Найти вероятность того, что
студент ответит на предложенные ему на экзамене три вопроса.

Слайд 13

Решение

Обозначим события
A={студент ответит на первый вопрос}
B={студент ответит на второй вопрос}

Решение Обозначим события A={студент ответит на первый вопрос} B={студент ответит на второй
C={студент ответит на третий вопрос}
P(A)=20/25
P(B)=19/24
P(C)=18/23

Слайд 14

Тогда искомая вероятность
P(ABC)=20/25·19/24·18/23=0,496

Тогда искомая вероятность P(ABC)=20/25·19/24·18/23=0,496

Слайд 15

Теорема умножения вероятностей

Теорема умножения вероятностей

Слайд 16

Вероятность того, что при одном выстреле стрелок попадает в цель, равна 0,4.

Вероятность того, что при одном выстреле стрелок попадает в цель, равна 0,4.
Сколько выстрелов должен произвести стрелок, чтобы с вероятностью не менее 0,9 он попал в цель хотя бы один раз?

Пример

Слайд 17

Учитывая lg0.6 < 0, имеем

Учитывая lg0.6

Слайд 18

Формула полной вероятности

Пусть событие А может наступить при условии появления одного

Формула полной вероятности Пусть событие А может наступить при условии появления одного
из несовместных событий

которые образуют полную группу. Пусть известны вероятности этих событий и условные вероятности

Слайд 19

Теорема.
Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появления одного

Теорема. Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появления одного
из несовместных событий

образующих полную группу, равна

Слайд 20

Пример
Имеется два набора деталей. Вероятность того, что деталь первого набора стандартна,

Пример Имеется два набора деталей. Вероятность того, что деталь первого набора стандартна,
равна 0,8, а второго – 0,9.
Найти вероятность того, что взятая наудачу деталь (из наудачу взятого набора) – стандартна.

Слайд 21

Решение
А= {«извлечённая деталь стандартна»}.
Деталь из первого набора ( ), либо
второго ( ).

Решение А= {«извлечённая деталь стандартна»}. Деталь из первого набора ( ), либо второго ( ).

Слайд 23

Пример .
В первой коробке содержится 20 радиоламп, из них 18 стандартных;

Пример . В первой коробке содержится 20 радиоламп, из них 18 стандартных;
во второй коробке – 10 ламп, из них 9 стандартных. Из второй коробки наудачу взята лампа и переложена в первую.
Найти вероятность того, что лампа, наудачу извлечённую из первой коробки, будет стандартной.

Слайд 24

Решение
А ={из первой коробки извлечена стандартная лампа}.

Из второй коробки могла быть извлечена

Решение А ={из первой коробки извлечена стандартная лампа}. Из второй коробки могла
либо стандартная лампа (событие ),

либо нестандартная (событие ).

Слайд 27

Вероятность гипотез Формула Байеса

Пусть событие А может наступить при условии появления

Вероятность гипотез Формула Байеса Пусть событие А может наступить при условии появления одного из несовместных событий
одного из несовместных событий

Слайд 28

Допустим, что произведено испытание, в результате которого появилось событие А.

Допустим, что произведено испытание, в результате которого появилось событие А.

Слайд 29

Будем искать условные вероятности

Будем искать условные вероятности

Слайд 31

Заменив здесь P(A) , получим

Заменив здесь P(A) , получим

Слайд 33

Полученные формулы называют формулами Байеса (по имени английского математика, который их вывел;

Полученные формулы называют формулами Байеса (по имени английского математика, который их вывел; опубликованы в 1764г.).
опубликованы в 1764г.).

Слайд 34

Формулы Бейеса позволяют переоценить вероятности гипотез после того, как становится известным

Формулы Бейеса позволяют переоценить вероятности гипотез после того, как становится известным результат
результат испытания, в итоге которого появилось событие А.

Слайд 35

Пример. Детали, изготовленные цехом завода, попадают для проверки их на стандартность к

Пример. Детали, изготовленные цехом завода, попадают для проверки их на стандартность к
одному из двух контролёров. Вероятность того, что деталь попадёт к первому контролёру, равна 0,6, а ко второму – 0,4..

Слайд 36

Вероятность того, что годная деталь будет признана стандартной первым контролёром, равна 0,94,

Вероятность того, что годная деталь будет признана стандартной первым контролёром, равна 0,94,
а вторым – 0,98. Годная деталь при проверке была признана стандартной
Найти вероятность того, что эту деталь проверил первый контролёр.

Слайд 37

Решение
А={ деталь признана стандартной}. Два предположения:
B1={деталь проверил первый контролёр} ;
B2={деталь

Решение А={ деталь признана стандартной}. Два предположения: B1={деталь проверил первый контролёр} ; B2={деталь проверил второй контролёр}
проверил второй контролёр}

Слайд 39

Задача

Есть 50 белых и 50 черных шаров. Их разложили в два

Задача Есть 50 белых и 50 черных шаров. Их разложили в два
ящика: в первый положили 15 белых и 5 черных, во второй положили все остальные. Затем из каждого ящик наудачу вынули по одному шару, а из этих двух – наудачу один. Найти вероятность, что выбран белый шар.

Слайд 42


Задачи

Задачи

Слайд 43

Задача 1

В первом ящике имеется 20 деталей, из них 15 стандартных,

Задача 1 В первом ящике имеется 20 деталей, из них 15 стандартных,
во втором – 30, из них 24 стандартных, в третьем – 10, из них 6 стандартных. Найти вероятность того, что наудачу извлеченная деталь из наудачу выбранного ящика стандартна.

Слайд 44

Решение

Обозначим A={вынута стандартная деталь}
B1={стандартная деталь из ящика 1}
B2={стандартная деталь из ящика

Решение Обозначим A={вынута стандартная деталь} B1={стандартная деталь из ящика 1} B2={стандартная деталь
2}
B3={стандартная деталь из ящика 3}
Вероятности P(B1)=P(B2)=P(B3)=1/3

Слайд 45

Условные вероятности

Условные вероятности

Слайд 46

По формуле полной вероятности

По формуле полной вероятности

Слайд 47

Задача 2

Имеется 5 винтовок: 3 с оптическим прицелом, 2 без оптического прицела.

Задача 2 Имеется 5 винтовок: 3 с оптическим прицелом, 2 без оптического
Вероятность поразить мишень из винтовки с классическим прицелом равна 0,95; для винтовки без оптического прицела – 0,7. Найти вероятность того, что цель будет поражена, если винтовка выбирается наудачу.

Слайд 48

Решение

A={цель поражена}
B1={взята винтовка с оптич. прицелом}
B2={взята винтовка без оптического прицела}
Найдем

Решение A={цель поражена} B1={взята винтовка с оптич. прицелом} B2={взята винтовка без оптического
вероятности
P(B1)=3/5
P(B2)=2/5

Слайд 49

Условные вероятности
Тогда искомая вероятность

Условные вероятности Тогда искомая вероятность

Слайд 50

Задача 3

В продажу поступили телевизоры трех заводов. Продукция первого завода содержит 10%

Задача 3 В продажу поступили телевизоры трех заводов. Продукция первого завода содержит
телевизоров с дефектов, второго – 5% и третьего – 3%. Какова вероятность купить неисправный телевизор, если в магазин поступило 25% телевизоров с первого завода, 55% со второго, 20% с третьего?

Слайд 51

Решение

A={приобретенный телевизор с дефектом}
B1={телевизор выпущен первым заводом}
B2={телевизор выпущен вторым заводом}
B3={телевизор

Решение A={приобретенный телевизор с дефектом} B1={телевизор выпущен первым заводом} B2={телевизор выпущен вторым
выпущен третьим заводом}

Слайд 52

Вероятности P(B1)=0,25; P(B2)=0,55; P(B3)=0,20
Условные вероятности
P(A|B1)=0,1
P(A|B2)=0,05
P(A|B3)=0,03
По формуле полной вероятности
P(A)=0,25·0,1+0,55·0,05+0,20·0,03=

Вероятности P(B1)=0,25; P(B2)=0,55; P(B3)=0,20 Условные вероятности P(A|B1)=0,1 P(A|B2)=0,05 P(A|B3)=0,03 По формуле полной вероятности P(A)=0,25·0,1+0,55·0,05+0,20·0,03= =0,0585
=0,0585

Слайд 53

Задача 4

В группе студентов 12 юношей и 8 девушек. Зачет по

Задача 4 В группе студентов 12 юношей и 8 девушек. Зачет по
ТВ и МС сдает, как правило 70% юношей и 80% девушек. Найти вероятность того, что первый вышедший из аудитории сдал зачет по ТВ и МС.

Слайд 54

Решение

A={сдал зачет по ТВ И МС}
B1={первый вышел юноша}
B2={первой вышла девушка}
Вероятности P(B1)=12/20;

Решение A={сдал зачет по ТВ И МС} B1={первый вышел юноша} B2={первой вышла
P(B2)=8/20
(всего человек 20, юношей 12, девушек 8)

Слайд 55

Условные вероятности
P(A|B1)=0,70 – вероятность сдать зачет, при условии, что вышел юноша

Условные вероятности P(A|B1)=0,70 – вероятность сдать зачет, при условии, что вышел юноша

P(A|B2)=0,80 – вероятность сдать зачет, при условии, что вышла девушка
По формуле полной вероятности
P(A)=12/20·0,7+8/20·0,8=0,74

Слайд 56

Задача 5

В группе спортсменов 20 лыжников, 6 велосипедистов, 4 бегуна. Вероятность

Задача 5 В группе спортсменов 20 лыжников, 6 велосипедистов, 4 бегуна. Вероятность
выполнить квал. норму для лыжника 0,9; для велосипедиста 0,8; для бегуна 0,75. Найти вероятность, что спортсмен, выбранный наудачу выполнит норму.

Слайд 57

Решение

A={спортсмен выполнит норму}
B1={выбран лыжник}
B2={выбран велосипедист}
B3={выбран бегун}
Вероятности
P(B1)=20/30; P(B2)=6/30; P(B3)=4/30

Решение A={спортсмен выполнит норму} B1={выбран лыжник} B2={выбран велосипедист} B3={выбран бегун} Вероятности P(B1)=20/30; P(B2)=6/30; P(B3)=4/30

Слайд 58

Условные вероятности
P(A|B1)=0,9; P(A|B2)=0,8; P(A|B3)=0,75
По формуле полной вероятности
P(A)=20/30·0,9+6/30·0,8+4/30·0,75

Условные вероятности P(A|B1)=0,9; P(A|B2)=0,8; P(A|B3)=0,75 По формуле полной вероятности P(A)=20/30·0,9+6/30·0,8+4/30·0,75

Слайд 59

Задача 6

В торговую фирму поступили телевизоры от трех поставщиков в отношении

Задача 6 В торговую фирму поступили телевизоры от трех поставщиков в отношении
1:4:5. Телевизоры от первого поставщика не потребуют ремонта в гарантийный срок с вероятностью 98%; от второго – 88%; от третьего – 92%. Найти вероятность того, что наудачу купленный телевизор не потребует ремонта в гарантийный срок.

Слайд 60

Решение

A={телевизор не потребует ремонта в гарантийный срок}
B1={телевизор от поставщика 1}
B2={телевизор от

Решение A={телевизор не потребует ремонта в гарантийный срок} B1={телевизор от поставщика 1}
поставщика 2}
B3={телевизор от поставщика 3}
P(B1)=0,1; P(B2)=0,4; P(B3)=0,5

Слайд 61

Условные вероятности
P(A|B1)=0,98; P(A|B2)=0,88; P(A|B3)=0,92
По формуле полной вероятности
P(A)=0,1·0,98+0,4·0,88+0,5·0,92

Условные вероятности P(A|B1)=0,98; P(A|B2)=0,88; P(A|B3)=0,92 По формуле полной вероятности P(A)=0,1·0,98+0,4·0,88+0,5·0,92

Слайд 62

Задача 7

Вероятности сбоя для различных элементов в компьютере относятся как 3:2:5.

Задача 7 Вероятности сбоя для различных элементов в компьютере относятся как 3:2:5.
Вероятности обнаружения сбоя в этих устройствах равны 0,8; 0,9; 0,9. Найти вероятность того, что возникший в машине сбой будет обнаружен.

Слайд 63

Решение

A={сбой будет обнаружен}
B1={сбой в устройстве 1}
B2={сбой в устройстве 2}
B3={сбой в

Решение A={сбой будет обнаружен} B1={сбой в устройстве 1} B2={сбой в устройстве 2}
устройстве 3}
Вероятности
P(B1)=0,3; P(B2)=0,2; P(B3)=0,5

Слайд 64

Условные вероятности
P(A|B1)=0,8; P(A|B2)=0,9; P(A|B3)=0,9
По формуле полной вероятности
P(A)=0,3·0,8+0,2·0,9+0,5·0,9=0,87

Условные вероятности P(A|B1)=0,8; P(A|B2)=0,9; P(A|B3)=0,9 По формуле полной вероятности P(A)=0,3·0,8+0,2·0,9+0,5·0,9=0,87

Слайд 65

Задача 8

У рыбака есть три любимых места рыбалка. Эти места он посещает

Задача 8 У рыбака есть три любимых места рыбалка. Эти места он
с одинаковой вероятностью. Вероятность того, что при однократном забросе удочки поймается рыбка в первом месте равна 1/3; во втором – ½; в третьем – ¼. Он забросил удочку и вытащил рыбку. Какова вероятность, что он рыбачил в первом месте?

Слайд 66

Решение

A={рыбак вытащил рыбку}
B1={рыбачил в первом месте}
B2={рыбачил во втором месте}
B3={рыбачил в

Решение A={рыбак вытащил рыбку} B1={рыбачил в первом месте} B2={рыбачил во втором месте}
третьем месте}
Вероятности
P(B1)=P(B2)=P(B3)=1/3

Слайд 67

Условные вероятности
P(A|B1)=1/3; P(A|B2)=1/2; P(A|B3)=1/4
По формуле Байеса

Условные вероятности P(A|B1)=1/3; P(A|B2)=1/2; P(A|B3)=1/4 По формуле Байеса

Слайд 68

Задача 9

Путешественник может купить билет в одной из трех касс ж/д

Задача 9 Путешественник может купить билет в одной из трех касс ж/д
вокзала. Вероятность, что он направится в первую кассу равна ½; во вторую – 1/3; в третью – 1/6.
Вероятности того, что билетов уже нет в кассах: в первой – 4/5; во второй – 5/6; в третьей – 7/8. Путешественник обратился в одну из касс и купил билет. Какова вероятность, что он купил билет в первой кассе

Слайд 69

Решение

A={купил билет}
B1={обратился в кассу 1}
B2={обратился в кассу 2}
B3={обратился в кассу

Решение A={купил билет} B1={обратился в кассу 1} B2={обратился в кассу 2} B3={обратился
3}
Вероятности
P(B1)=1/2; P(B2)=1/3; P(B3)=1/6

Слайд 70

Так как в условии задачи даны вероятности, что билетов в кассах уже

Так как в условии задачи даны вероятности, что билетов в кассах уже
нет, а путешественник купил билет, значит в кассе билеты были.
Условные вероятности
P(A|B1)=1-4/5=1/5
P(A|B2)=1-5/6=1/6
P(A|B3)=1-7/8=1/8.

Слайд 71

Искомая вероятность

Искомая вероятность

Слайд 72

Задача 10

Турист, заблудившись в лесу, вышел на полянку, от которой в

Задача 10 Турист, заблудившись в лесу, вышел на полянку, от которой в
разные стороны ведут 5 дорог. Если турист пойдет по 1-й дороге, вероятность выхода из леса в течение часа составляет 0,6; по 2-й – 0,3; по 3-й – 0,2; по 4-й – 0,1; по 5-й – 0,1. Какова вероятность того, что турист пошел по первой дороге, если через час он вышел из леса?

Слайд 73

Решение

A={турист вышел из леса}
B1={выбрал дорогу 1}
B2={выбрал дорогу 2}
B3={выбрал дорогу 3}

Решение A={турист вышел из леса} B1={выбрал дорогу 1} B2={выбрал дорогу 2} B3={выбрал
B4={выбрал дорогу 4}
B5={выбрал дорогу 5}

Слайд 74

Дорог всего 5. Вероятности пойти по любой из пяти дорог одинаковы, то

Дорог всего 5. Вероятности пойти по любой из пяти дорог одинаковы, то
есть
P(B1)=P(B2)=P(B3)=P(B4)=P(B5)=1/5
Условные вероятности даны
P(A|B1)=0,6; P(A|B2)=0,3; P(A|B3)=0,2
P(A|B4)=0,1; P(A|B5)=0,1

Слайд 75

Имеем

Имеем

Слайд 76

Вопросы к лекции 5

Теорема сложения для любых событий
Условная вероятность
Формула полной вероятности
Формула Байеса

Вопросы к лекции 5 Теорема сложения для любых событий Условная вероятность Формула полной вероятности Формула Байеса
Имя файла: Теория-вероятностей-и-математическая-статистика-(Лекция-5).pptx
Количество просмотров: 119
Количество скачиваний: 0