Тригонометрическая и показательная форма комплексного числа

Содержание

Слайд 2

Сложение (вычитание) комплексных чисел

Примеры:
1.
2.

Сложение (вычитание) комплексных чисел Примеры: 1. 2.

Слайд 3

Произведение и частное комплексных чисел в алгебраической форме.

Произведение:

Частное:

Произведение и частное комплексных чисел в алгебраической форме. Произведение: Частное:

Слайд 4

Геометрическое изображение комплексных чисел

Комплексное число ?=?+?i изображается на координатной плоскости точкой

Геометрическое изображение комплексных чисел Комплексное число ?=?+?i изображается на координатной плоскости точкой
М(a;b) или вектором ??⃗, начало которого совпадает с началом координат, а конец – с точкой М(a;b).

Слайд 5

Модуль и аргумент комплексного числа

Определение . Модулем комплексного числа называется абсолютная величина

Модуль и аргумент комплексного числа Определение . Модулем комплексного числа называется абсолютная
вектора, соответствующего этому числу.

Модуль числа z = a + bi обозначается |?| или |?+?i| или r.
На основании теоремы Пифагора (см. рис.1) получается формула

Например, комплексное число z = 8 − 6i имеет модуль равный 10, так как |?|=√82+(−6)2=√64+36=√100=10.

Слайд 6

Определение. Аргументом комплексного числа ?≠0 называется величина угла между положительным направлением оси

Определение. Аргументом комплексного числа ?≠0 называется величина угла между положительным направлением оси
Оx и вектором, соответствующим этому числу (см. рис. 1).

Аргумент обозначается ?, arg z или arg (?+?i).
Аргумент комплексного числа ?=?+?i определяется неоднозначно, т.е. одному комплексному числу соответствует бесконечное множество аргументов.

Слайд 7

Правило нахождения аргумента комплексного числа

1. Найти tg ? =|?/?|.
2. Найти ?=arctg|?/?|.
3. Выяснив,

Правило нахождения аргумента комплексного числа 1. Найти tg ? =|?/?|. 2. Найти
в какой четверти лежит вектор, соответствующий числу, найти аргумент ?.
Если ? ∈ 1 четверти, то ? = ?
? ∈ 2 четверти, то ?=???- ?
? ∈ 3 четверти, то ?=???+ ?
? ∈ 4 четверти, то ? = ???- ?

Слайд 8

Примеры:
Найти модуль и аргумент комплексного числа.


Примеры: Найти модуль и аргумент комплексного числа.

Слайд 11

Тригонометрическая форма комплексного числа

Пусть дано комплексное число ?=?+?i
Из ∆ ОМА можно

Тригонометрическая форма комплексного числа Пусть дано комплексное число ?=?+?i Из ∆ ОМА
выразить действительные числа а и b через модуль r и аргумент ? числа z следующим образом:
?=?cos?,?=?sin?.
Таким образом, комплексное число можно записать в виде
?=?(cos?+i sin?),
где r – модуль комплексного числа, ? - один из его аргументов.
Представление комплексного числа z в виде
z = r (????+i ????)
называется тригонометрической формой
записи комплексного числа.

Слайд 12

Правило перехода от алгебраической формы записи
комплексного числа к тригонометрической

Для того чтобы перейти

Правило перехода от алгебраической формы записи комплексного числа к тригонометрической Для того
от алгебраической формы записи к тригонометрической нужно:
1. Найти модуль комплексного числа по формуле:
2. Найти один из аргументов комплексного числа, пользуясь правилом нахождения аргумента.
3. Записать комплексное число в тригонометрической форме.

Слайд 13

Примечание
Модули и аргументы действительных чисел и чисто мнимых чисел надо находить непосредственно

Примечание Модули и аргументы действительных чисел и чисто мнимых чисел надо находить
исходя из их геометрического изображения, а не используя приведенное выше правило (тем более, что для чисто мнимых чисел это правило вообще нельзя применять).

Чтобы перейти от тригонометрической формы записи обратно к алгебраической форме нужно найти значения sin? и cos? при данном аргументе и умножить на модуль.
Например: ?=3(cos120°+i sin120°)=
=3∗(−1/2+√3/2i)=−3/2+3√3/2i

Слайд 14

Пример: Комплексное число изобразить на плоскости и записать в тригонометрической форме

Пример: Комплексное число изобразить на плоскости и записать в тригонометрической форме 2

2

2

φ

x

y

0

Слайд 15

Действия над комплексными числами в тригонометрической форме
1. Умножение

Действия над комплексными числами в тригонометрической форме 1. Умножение

Слайд 16

2. Деление

2. Деление

Слайд 17

Произведение и частное комплексных чисел в тригонометрической форме.

Произведение:

Частное:

Произведение и частное комплексных чисел в тригонометрической форме. Произведение: Частное:

Слайд 18

4. Извлечение корня из комплексного числа.

3. Возведение в степень

4. Извлечение корня из комплексного числа. 3. Возведение в степень

Слайд 20

Комплексное в показательной (или экспонентной) форме
Где и
В силу формулы Эйлера
функция

Комплексное в показательной (или экспонентной) форме Где и В силу формулы Эйлера
периодическая с основным периодом 2π.
Для записи комплексного числа в показательной форме надо
определить главное значение аргумента и модуль.

Слайд 21

Произведение и частное комплексных чисел в показательной форме.

Произведение и частное комплексных чисел в показательной форме.

Слайд 22

Возведение комплексных чисел в степень.

Правило умножения комплексных чисел позволяет возвести число в

Возведение комплексных чисел в степень. Правило умножения комплексных чисел позволяет возвести число
n-степень:
Получим Формулу Муавра:
Для показательной формы используют формулу:

Слайд 23

Возведение комплексных чисел в степень. Пример.

Найти
Запишем число в тригонометрической форме:

Возведение комплексных чисел в степень. Пример. Найти Запишем число в тригонометрической форме:

Слайд 24

Домашнее задание
1. Изобразить на координатной плоскости числа:
1. ? = 5; 4. z

Домашнее задание 1. Изобразить на координатной плоскости числа: 1. ? = 5;
= 5 – 2i;
2. ? = −3i; 5. Z = − 3 + 2i;
3. z = 3 + 2i; 6. z = − 1 – 5i.
2.Записать в тригонометрической показательной форме комплексные числа:
?=1+i. 3. ?=−2+2i. 4. ?=√3+i
5. ?=−3+3i 6. ?=− √3i 7. ?=−10.

Слайд 25

3. Выполнить действия над комплексными числами в тригонометрической и показательной форме

3. Выполнить действия над комплексными числами в тригонометрической и показательной форме
Имя файла: Тригонометрическая-и-показательная-форма-комплексного-числа.pptx
Количество просмотров: 66
Количество скачиваний: 3