Тригонометрическая и показательная форма комплексного числа

Сложение (вычитание) комплексных чисел
Примеры:
1.
2.

Произведение и частное комплексных чисел в алгебраической форме.
Произведение:
Частное:

Геометрическое изображение комплексных чисел
Комплексное число ?=?+?i изображается на координатной плоскости точкой М(a;b) или вектором ??⃗, начало которого совпадает с началом координат, а конец – с точкой М(a;b).

Модуль и аргумент комплексного числа
Определение . Модулем комплексного числа называется абсолютная величина вектора, соответствующего этому числу.
Модуль числа z = a + bi обозначается |?| или |?+?i| или r.
На основании теоремы Пифагора (см. рис.1) получается формула
Например, комплексное число z = 8 − 6i имеет модуль равный 10, так как |?|=√82+(−6)2=√64+36=√100=10.

Определение. Аргументом комплексного числа ?≠0 называется величина угла между положительным направлением оси Оx и вектором, соответствующим этому числу (см. рис. 1).
Аргумент обозначается ?, arg z или arg (?+?i).
Аргумент комплексного числа ?=?+?i определяется неоднозначно, т.е. одному комплексному числу соответствует бесконечное множество аргументов.

Правило нахождения аргумента комплексного числа
1. Найти tg ? =|?/?|.
2. Найти ?=arctg|?/?|.
3. Выяснив, в какой четверти лежит вектор, соответствующий числу, найти аргумент ?.
Если ? ∈ 1 четверти, то ? = ?
? ∈ 2 четверти, то ?=???- ?
? ∈ 3 четверти, то ?=???+ ?
? ∈ 4 четверти, то ? = ???- ?

Примеры:
Найти модуль и аргумент комплексного числа.

Тригонометрическая форма комплексного числа
Пусть дано комплексное число ?=?+?i
Из ∆ ОМА можно выразить действительные числа а и b через модуль r и аргумент ? числа z следующим образом:
?=?cos?,?=?sin?.
Таким образом, комплексное число можно записать в виде
?=?(cos?+i sin?),
где r – модуль комплексного числа, ? - один из его аргументов.
Представление комплексного числа z в виде
z = r (????+i ????)
называется тригонометрической формой
записи комплексного числа.

Правило перехода от алгебраической формы записи
комплексного числа к тригонометрической
Для того чтобы перейти от алгебраической формы записи к тригонометрической нужно:
1. Найти модуль комплексного числа по формуле:
2. Найти один из аргументов комплексного числа, пользуясь правилом нахождения аргумента.
3. Записать комплексное число в тригонометрической форме.

Примечание
Модули и аргументы действительных чисел и чисто мнимых чисел надо находить непосредственно исходя из их геометрического изображения, а не используя приведенное выше правило (тем более, что для чисто мнимых чисел это правило вообще нельзя применять).
Чтобы перейти от тригонометрической формы записи обратно к алгебраической форме нужно найти значения sin? и cos? при данном аргументе и умножить на модуль.
Например: ?=3(cos120°+i sin120°)=
=3∗(−1/2+√3/2i)=−3/2+3√3/2i

Пример: Комплексное число изобразить на плоскости и записать в тригонометрической форме
2
2
φ
x
y
0

Действия над комплексными числами в тригонометрической форме
1. Умножение

2. Деление

Произведение и частное комплексных чисел в тригонометрической форме.
Произведение:
Частное:

4. Извлечение корня из комплексного числа.
3. Возведение в степень

Комплексное в показательной
(или экспонентной) форме
Где и
В силу формулы Эйлера
функция периодическая с основным периодом 2π.
Для записи комплексного числа в показательной форме надо
определить главное значение аргумента и модуль.

Произведение и частное комплексных чисел
в показательной форме.

Возведение комплексных чисел в степень.
Правило умножения комплексных чисел позволяет возвести число в n-степень:
Получим Формулу Муавра:
Для показательной формы используют формулу:

Возведение комплексных чисел в степень.
Пример.
Найти
Запишем число в тригонометрической форме:

Домашнее задание
1. Изобразить на координатной плоскости числа:
1. ? = 5; 4. z = 5 – 2i;
2. ? = −3i; 5. Z = − 3 + 2i;
3. z = 3 + 2i; 6. z = − 1 – 5i.
2.Записать в тригонометрической показательной форме комплексные числа:
?=1+i. 3. ?=−2+2i. 4. ?=√3+i
5. ?=−3+3i 6. ?=− √3i 7. ?=−10.

3. Выполнить действия над комплексными числами в тригонометрической и показательной форме