Тригонометрические уравнения. Однородные тригонометрические уравнения

Однородные тригонометрические уравнения первой степени
Уравнение вида a sin x + b cos x = 0 называют однородным тригонометрическим уравнением первой степени.
Если a ≠ 0, b ≠ 0, то для решения обе части уравнения разделим на cos x, и получим:

Пример 1.
Решите уравнение:

Пример 1. Решение
Разделим обе части на
Получим:
Ответ: ,

Пример 2.
Решите уравнение:

Пример 2. Решение
По формулам приведения преобразуем обе части уравнения:
Получим

Пример 2. Решение
Разделим обе части на
Ответ: ,

Однородные тригонометрические уравнения второй степени
Уравнение вида
a sin2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0
называют однородным тригонометрическим уравнением второй степени.

Алгоритм решения уравнения
a sin2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0
Если a≠0, c≠0, то:
1. Уравнение решается делением обеих его частей на cos 2 x и последующим введением новой переменной z=tg x

Алгоритм решения уравнения
a sin2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0
Если a=0 ( или c=0), то:
2. Уравнение решается методом разложения на множители: за скобки выносим cos x (или sin x)
Решаем два уравнения:
и

Пример 3.
Решите уравнение:

Пример 3. Решение
Разделим обе части на , получим:
Введем новую переменную z=tg x:
Решив квадратное уравнение получим:
,

Пример 3. Решение
Значит ,
Из первого уравнения получаем:
, т.е.
Из второго уравнения находим:
Ответ: , ,

Пример 4.
Решите уравнение:

Пример 4. Решение
Выносим за скобку :
Решаем два уравнения:
и
из первого уравнения находим

Пример 4. Решение
Делим обе части на :
Ответ: , ,

Пример 5.
Решите уравнение:

Пример 5. Решение
Обратим внимание на то, что уравнение в правой части содержится не 0, а 2. Значит это не однородное уравнение.
Преобразуем по основному тригонометрическому тождеству:

Пример 5. Решение
Подставив в изначальное уравнение полученное выражение получим:
Приведем к виду однородного тригонометрического уравнения второй степени:

Пример 5. Решение
Разделим обе части почленно на :
Введем новую переменную :
Решив квадратное уравнение, получим: